Bài 17. Hàm số liên tục

Bài 17. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 17 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Tập 1 tập trung vào khái niệm hàm số liên tục, một trong những khái niệm nền tảng của giải tích. Hiểu rõ về hàm số liên tục là bước quan trọng để học tốt các chương tiếp theo, đặc biệt là chương về đạo hàm và tích phân.

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. Hàm số f(x) xác định tại x₀, tức là f(x₀) có nghĩa.
2. Tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x0 f(x).
3. Giá trị của hàm số tại x₀ bằng giới hạn của hàm số khi x tiến tới x₀, tức là f(x₀) = lim_x→x0 f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Các hàm số liên tục thường gặp

• Hàm đa thức là hàm liên tục trên R.
• Hàm phân thức là hàm liên tục trên tập xác định của nó.
• Hàm lượng giác (sin, cos) là hàm liên tục trên R.
• Hàm căn bậc chẵn là hàm liên tục trên tập xác định của nó.

4. Các tính chất của hàm số liên tục

Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x₀ thì:

• Hàm số f(x) + g(x) liên tục tại x₀.
• Hàm số f(x) - g(x) liên tục tại x₀.
• Hàm số f(x) * g(x) liên tục tại x₀.
• Hàm số f(x) / g(x) liên tục tại x₀ (với g(x₀) ≠ 0).

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Chứng minh hàm số này liên tục tại x = 2.

Giải:

f(2) = 2² + 1 = 5

lim_x→2 f(x) = lim_x→2 (x² + 1) = 2² + 1 = 5

Vì f(2) = lim_x→2 f(x) = 5, nên hàm số f(x) = x² + 1 liên tục tại x = 2.

Bài tập 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục trên khoảng nào?

Giải:

Hàm số f(x) = 1/x xác định trên khoảng (-∞, 0) và (0, +∞). Vì hàm phân thức liên tục trên tập xác định của nó, nên hàm số f(x) = 1/x liên tục trên các khoảng (-∞, 0) và (0, +∞).

6. Ứng dụng của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Trong vật lý, hàm số liên tục được sử dụng để mô tả các quá trình biến đổi liên tục, như chuyển động của một vật thể.
• Trong kinh tế, hàm số liên tục được sử dụng để mô tả các mối quan hệ giữa các biến số kinh tế, như cung và cầu.
• Trong kỹ thuật, hàm số liên tục được sử dụng để thiết kế các hệ thống điều khiển.

7. Lời khuyên khi học bài

Để nắm vững kiến thức về hàm số liên tục, các em nên:

• Hiểu rõ định nghĩa và các điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng.
• Nắm vững các tính chất của hàm số liên tục.
• Luyện tập giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
• Tìm hiểu các ứng dụng thực tế của hàm số liên tục.

Chúc các em học tập tốt!