Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 22 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất của hình học không gian: mối quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng. Việc hiểu rõ về điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, các định lý liên quan và cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế là vô cùng cần thiết cho việc học tập và nghiên cứu toán học ở các cấp độ cao hơn.

1. Điều kiện hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta thường sử dụng vector chỉ phương của chúng. Gọi a và b là vector chỉ phương của hai đường thẳng d₁ và d₂. Hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc khi và chỉ khi:

a ⋅ b = 0 (tích vô hướng của hai vector bằng 0)

2. Các định lý liên quan

• Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng kia.
• Định lý 3: Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

3. Ứng dụng vào giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến hai đường thẳng vuông góc, các em cần:

1. Xác định vector chỉ phương của các đường thẳng.
2. Tính tích vô hướng của các vector chỉ phương.
3. Kiểm tra xem tích vô hướng có bằng 0 hay không. Nếu bằng 0, hai đường thẳng vuông góc.
4. Áp dụng các định lý liên quan để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vector chỉ phương lần lượt là a = (1; 2; -1) và b = (2; -1; 1). Chứng minh rằng d₁ và d₂ vuông góc.

Giải: Ta có a ⋅ b = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 2 - 1 = -1 ≠ 0. Vậy d₁ và d₂ không vuông góc.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z - 3 = 0 và đường thẳng d có phương trình tham số x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t. Chứng minh rằng d vuông góc với (P).

Giải: Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (1; 1; 1). Vector chỉ phương của đường thẳng d là a = (1; -1; 2). Ta có a ⋅ n = (1)(1) + (-1)(1) + (2)(1) = 1 - 1 + 2 = 2 ≠ 0. Vậy d không vuông góc với (P).

5. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức:

• Bài 22.1
• Bài 22.2
• Bài 22.3

6. Kết luận

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan đến hai đường thẳng vuông góc sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các vấn đề toán học phức tạp.