Giải bài 15 trang 68 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 15 trang 68 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài 15 trang 68 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập chương 3: Hàm số lượng giác. Bài tập bao gồm các dạng bài tập về xác định tập xác định của hàm số, tìm tập giá trị, xét tính đơn điệu, tìm cực trị và vẽ đồ thị hàm số lượng giác. Để giải tốt bài tập này, học sinh cần nắm vững kiến thức về các hàm số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot), các phép biến đổi lượng giác và các phương pháp giải phương trình lượng giác.

1. Xác định tập xác định của hàm số lượng giác

Để xác định tập xác định của hàm số lượng giác, học sinh cần chú ý đến các điều kiện sau:

• Với hàm số y = sin(x), tập xác định là R (tập hợp tất cả các số thực).
• Với hàm số y = cos(x), tập xác định là R.
• Với hàm số y = tan(x), tập xác định là các số thực x sao cho x ≠ π/2 + kπ (k là số nguyên).
• Với hàm số y = cot(x), tập xác định là các số thực x sao cho x ≠ kπ (k là số nguyên).

Ví dụ: Xác định tập xác định của hàm số y = tan(2x + π/3). Ta có 2x + π/3 ≠ π/2 + kπ, suy ra 2x ≠ π/6 + kπ, suy ra x ≠ π/12 + kπ/2 (k là số nguyên).

2. Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

Tập giá trị của các hàm số lượng giác cơ bản là:

• Hàm số y = sin(x) có tập giá trị là [-1, 1].
• Hàm số y = cos(x) có tập giá trị là [-1, 1].
• Hàm số y = tan(x) có tập giá trị là R.
• Hàm số y = cot(x) có tập giá trị là R.

Để tìm tập giá trị của hàm số lượng giác phức tạp hơn, học sinh có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Đặt t = một biểu thức chứa x, sau đó tìm tập giá trị của t.
• Sử dụng các tính chất của hàm số lượng giác, ví dụ: -1 ≤ sin(x) ≤ 1, -1 ≤ cos(x) ≤ 1.

3. Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Để xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác, học sinh có thể sử dụng đạo hàm của hàm số. Nếu đạo hàm f'(x) > 0 trên một khoảng nào đó, thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm f'(x) < 0 trên một khoảng nào đó, thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

Ví dụ: Xét hàm số y = sin(x) trên khoảng (0, π). Đạo hàm của hàm số là y' = cos(x). Trên khoảng (0, π/2), cos(x) > 0, nên hàm số y = sin(x) đồng biến trên khoảng (0, π/2). Trên khoảng (π/2, π), cos(x) < 0, nên hàm số y = sin(x) nghịch biến trên khoảng (π/2, π).

4. Tìm cực trị của hàm số lượng giác

Để tìm cực trị của hàm số lượng giác, học sinh cần giải phương trình f'(x) = 0 và xét dấu của đạo hàm cấp hai f''(x). Nếu f'(x) = 0 và f''(x) > 0, thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó. Nếu f'(x) = 0 và f''(x) < 0, thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm đó.

5. Vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Để vẽ đồ thị hàm số lượng giác, học sinh cần xác định các yếu tố sau:

• Tập xác định.
• Tập giá trị.
• Các điểm đặc biệt (điểm nút, điểm cực trị, điểm cắt trục).
• Tính chất đối xứng.
• Tính tuần hoàn.

Sau đó, học sinh có thể vẽ đồ thị hàm số bằng cách nối các điểm đặc biệt và sử dụng các tính chất của hàm số.

Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y = √(tan(x)).

Giải: Để hàm số xác định, ta cần tan(x) ≥ 0. Điều này xảy ra khi kπ ≤ x < π/2 + kπ (k là số nguyên).

Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2sin(x) + 1.

Giải: Vì -1 ≤ sin(x) ≤ 1, nên -2 ≤ 2sin(x) ≤ 2, suy ra -1 ≤ 2sin(x) + 1 ≤ 3. Vậy tập giá trị của hàm số là [-1, 3].

Kết luận

Bài 15 trang 68 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.