Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng

Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

1. Khái niệm phép chiếu vuông góc

Phép chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm H sao cho MH vuông góc với (P). Điểm H được gọi là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Ký hiệu: H = proj_(P)(M).

Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng là phép biến hình đi kèm với mỗi điểm, tạo ra một điểm trên mặt phẳng đó sao cho đoạn thẳng nối điểm ban đầu với điểm mới vuông góc với mặt phẳng.

2. Tính chất của phép chiếu vuông góc

• Nếu M thuộc (P) thì proj_(P)(M) = M.
• Với mọi điểm M không thuộc (P), có duy nhất một điểm H = proj_(P)(M).
• Nếu M không thuộc (P) và H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) thì MH vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) đi qua H.

3. Phép chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng

Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là tập hợp các hình chiếu vuông góc của mọi điểm thuộc d lên (P). Nếu d vuông góc với (P) thì hình chiếu của d lên (P) là một điểm. Nếu d không vuông góc với (P) thì hình chiếu của d lên (P) là một đường thẳng.

4. Phép chiếu vuông góc của một mặt phẳng lên một mặt phẳng

Hình chiếu vuông góc của một mặt phẳng (P) lên mặt phẳng (Q) là mặt phẳng (P') chứa tất cả các hình chiếu vuông góc của các điểm thuộc (P) lên (Q). Nếu (P) song song với (Q) thì (P') = (P). Nếu (P) cắt (Q) thì (P') là mặt phẳng chứa đường giao tuyến của (P) và (Q) và vuông góc với cả (P) và (Q).

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Giải: Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình tham số là:

x = 1 + t

y = 2 + t

z = 3 + t

Thay vào phương trình (P) ta được: (1 + t) + (2 + t) + (3 + t) - 6 = 0 => 3t = 0 => t = 0.

Vậy hình chiếu vuông góc của M lên (P) là H(1; 2; 3).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm hình chiếu vuông góc của d lên (P).

Giải: Tìm giao điểm của d và (P) (nếu có). Như ví dụ trên, giao điểm là H(1; 2; 3). Vì d không vuông góc với (P), hình chiếu của d lên (P) là đường thẳng đi qua H và song song với d.

6. Ứng dụng của phép chiếu vuông góc

Phép chiếu vuông góc có nhiều ứng dụng trong hình học không gian, đặc biệt trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, từ một đường thẳng đến một mặt phẳng, và trong việc giải các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Các em học sinh nên làm thêm nhiều bài tập trong SBT Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2 để nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập về phép chiếu vuông góc. Hãy tham khảo các bài tập tương tự và tự giải để hiểu rõ hơn về các khái niệm và tính chất liên quan.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!