Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất thống kê đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào thực tiễn. Bài 30, với chủ đề “Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập”, là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu và tính toán xác suất của các sự kiện phức tạp.

1. Khái niệm biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Nói cách khác, P(B|A) = P(B) và P(A|B) = P(A). Đây là nền tảng để hiểu và áp dụng công thức nhân xác suất.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra được tính bằng tích của xác suất của mỗi biến cố:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Công thức này cho phép chúng ta tính xác suất của một sự kiện phức tạp bằng cách phân tích nó thành các sự kiện đơn giản hơn và độc lập.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt hai lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện của lần gieo thứ nhất là số chẵn và mặt xuất hiện của lần gieo thứ hai là số lẻ.

Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện của lần gieo thứ nhất là số chẵn” và B là biến cố “mặt xuất hiện của lần gieo thứ hai là số lẻ”. Ta có:

• P(A) = 3/6 = 1/2 (các mặt chẵn là 2, 4, 6)
• P(B) = 3/6 = 1/2 (các mặt lẻ là 1, 3, 5)

Vì hai lần gieo xúc xắc là độc lập, nên:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”. Ta có:

• P(A) = 5/8
• P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy một quả bóng đỏ, còn lại 4 quả đỏ và 3 quả xanh)

Tuy nhiên, trong trường hợp này, hai biến cố không độc lập vì việc lấy quả bóng thứ nhất ảnh hưởng đến xác suất lấy quả bóng thứ hai. Do đó, ta cần sử dụng công thức nhân xác suất tổng quát: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 5/14

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau:

1. Một đồng xu được gieo ba lần. Tính xác suất để cả ba lần đều xuất hiện mặt sấp.
2. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
3. Một người bắn súng có xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.8. Người đó bắn ba phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu cả ba lần.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng công thức nhân xác suất, điều quan trọng nhất là xác định xem hai biến cố có độc lập hay không. Nếu hai biến cố không độc lập, ta cần sử dụng công thức nhân xác suất tổng quát P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A).

6. Kết luận

Bài 30 đã cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Chúc bạn học tập tốt!