Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Bài 33. Đạo hàm cấp hai - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một của một hàm số. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Nếu f'(x) có đạo hàm, đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x) hoặc y''.

Công thức tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = (f'(x))'

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai cho ta biết:

• Độ lồi lõm của đồ thị hàm số:
• Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) = 0 tại một điểm, điểm đó có thể là điểm uốn của đồ thị hàm số.
• Vận tốc thay đổi của vận tốc: Trong vật lý, đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian là gia tốc.

3. Các quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta có thể áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cấp một một cách tuần tự:

• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
• Quy tắc đạo hàm của hàm hợp.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x³ - 2x² + 5x - 1

Giải:

1. Tính đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 4x + 5
2. Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 4

Ví dụ 2: Tìm khoảng mà đồ thị hàm số y = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 lồi và lõm.

Giải:

1. Tính đạo hàm cấp một: y' = 4x³ - 12x² + 12x - 4
2. Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 12x² - 24x + 12 = 12(x - 1)²
3. Vì y'' ≥ 0 với mọi x, đồ thị hàm số luôn lồi trên R.

5. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

• Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x)
• Bài 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2
• Bài 3: Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y = x⁴ - 2x² + 1 lồi và lõm.

6. Kết luận

Bài 33 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về đạo hàm cấp hai, ý nghĩa và cách tính của nó. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm một cách hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.