Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

I. Giới thiệu chung về biến cố

Trong lý thuyết xác suất, biến cố là một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một thí nghiệm ngẫu nhiên. Mỗi biến cố được xác định bởi một tập hợp các kết quả có thể xảy ra. Việc hiểu rõ về biến cố là nền tảng để tính toán xác suất của các sự kiện.

II. Biến cố hợp

Định nghĩa: Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Ký hiệu là A ∪ B.

Công thức: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B) là xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A) là xác suất của biến cố A
• P(B) là xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B

III. Biến cố giao

Định nghĩa: Biến cố giao của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra. Ký hiệu là A ∩ B.

Công thức:

• Nếu A và B độc lập: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
• Nếu A và B không độc lập: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B
• P(A) là xác suất của biến cố A
• P(B) là xác suất của biến cố B
• P(B|A) là xác suất của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra
• P(A|B) là xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra

IV. Biến cố độc lập

Định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Điều kiện: A và B độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

V. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt. Xét biến cố A: “Mặt xuất hiện là số chẵn” và biến cố B: “Mặt xuất hiện lớn hơn 3”.

Giải:

• P(A) = 3/6 = 1/2
• P(B) = 3/6 = 1/2
• A ∩ B = {4, 6} => P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3

Vì P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) (1/3 ≠ 1/2 * 1/2 = 1/4) nên A và B không độc lập.

Ví dụ 2: Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xét biến cố A: “Lá bài rút được là át” và biến cố B: “Lá bài rút được là cơ”.

Giải:

• P(A) = 4/52 = 1/13
• P(B) = 13/52 = 1/4
• A ∩ B = {Át cơ} => P(A ∩ B) = 1/52

Vì P(A ∩ B) = P(A) * P(B) (1/52 = 1/13 * 1/4) nên A và B độc lập.

VI. Bài tập áp dụng

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
2. Gieo hai con xúc xắc sáu mặt. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
3. Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng ít nhất 2 phát.

VII. Kết luận

Bài học về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm và công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.