Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 12 trang 95 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan đến bài học.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh. Hãy cùng toan9.edu.vn khám phá lời giải bài tập này nhé!
Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính \(AB = 10m\), một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi \(S\left( \alpha \right)\) là quãng đường người đó đã di chuyển. a) Viết công thức tính \(S\left( \alpha \right)\) theo \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). b) Xét tính liên tục của hàm số \(y = S\left( \alpha \right)\)
Đề bài
Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính \(AB = 10m\), một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi \(S\left( \alpha \right)\) là quãng đường người đó đã di chuyển.
a) Viết công thức tính \(S\left( \alpha \right)\) theo \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\).
b) Xét tính liên tục của hàm số \(y = S\left( \alpha \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
c) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} S\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = M\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\).
Lời giải chi tiết
a) Kí hiệu O là tâm hình tròn.
Do tam giác ABC vuông tại C nên \(AC = AB\cos \alpha = 10\cos \alpha \left( m \right)\)
Ta có: \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2\alpha \) nên độ dài cung BC là: \(l = OB.\widehat {BOC} = 5.2\alpha = 10\alpha \left( m \right)\)
Quãng đường di chuyển của người đó là:
\(S\left( \alpha \right) = AC + l = 10\cos \alpha + 10\alpha = 10\left( {\cos \alpha + \alpha } \right)\)(m) \(\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\)
b) Do các hàm số \(y = \alpha ,y = \cos \alpha \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = S\left( \alpha \right)\) liên tục trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} 10\left( {\alpha + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} \alpha + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {0 + 1} \right) = 10\)
\(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} S\left( \alpha \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} 10\left( {\alpha + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \alpha + \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {\frac{\pi }{2} + 0} \right) = 5\pi \)
Bài 12 trang 95 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các khái niệm và tính chất của các phép biến hình là vô cùng quan trọng để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
Bài 12 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải phần a, chúng ta cần xác định ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Sử dụng công thức: M' = M + v, trong đó M' là ảnh của M, M là tọa độ điểm M, và v là tọa độ vectơ v. Thay các giá trị cụ thể vào công thức, ta sẽ tìm được tọa độ của điểm M'.
Phần b yêu cầu tìm tâm của phép quay biến điểm A thành điểm B. Để tìm tâm quay O, ta cần giải hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được tọa độ của tâm quay O.
Phần c yêu cầu chứng minh tam giác ABC là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép đối xứng trục d. Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng:
Khi giải bài tập về phép biến hình, các em cần lưu ý những điều sau:
Ví dụ: Cho điểm A(1; 2) và vectơ v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Giải:
Áp dụng công thức: A' = A + v
A' = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1)
Vậy tọa độ điểm A' là (4; 1).
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:
Bài 12 trang 95 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về các phép biến hình. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
