Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm then chốt để hiểu về sự hội tụ và phân kỳ của dãy số, đồng thời là nền tảng cho việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số trong các chương sau.

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Hiểu một cách đơn giản, dãy số (u_n) tiến tới L khi các số hạng của dãy số càng ngày càng gần L một cách vô hạn.

2. Các tính chất của giới hạn

• Tính duy nhất: Nếu dãy số (u_n) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
• Tính chất cộng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất trừ: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất nhân: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất chia: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn thường gặp

a. Dãy số không đổi

Nếu u_n = C với mọi n, thì lim_n→∞ u_n = C.

b. Dãy số có dạng phân số

Để tính giới hạn của dãy số có dạng phân số, ta thường chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất.

Ví dụ: lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 + 3/n) = 2/1 = 2.

c. Dãy số có căn thức

Để tính giới hạn của dãy số có căn thức, ta thường đưa về dạng đơn giản hơn bằng cách nhân liên hợp hoặc sử dụng các tính chất của căn thức.

d. Dãy số có chứa lũy thừa

Khi dãy số có chứa lũy thừa, ta cần xem xét giá trị của số mũ và cơ số để xác định giới hạn.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5).

Giải:

lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5) = lim_n→∞ (3 + 2/n - 1/n²) / (1 + 5/n²) = 3/1 = 3.

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ √(n + 1) - √n.

Giải:

√(n + 1) - √n = (√(n + 1) - √n) * (√(n + 1) + √n) / (√(n + 1) + √n) = (n + 1 - n) / (√(n + 1) + √n) = 1 / (√(n + 1) + √n).

lim_n→∞ 1 / (√(n + 1) + √n) = 0.

5. Bài tập áp dụng

1. Tính lim_n→∞ (5n - 3) / (2n + 1).
2. Tính lim_n→∞ √(4n² + 1) - 2n.
3. Tính lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ.

Kết luận

Bài 1. Giới hạn của dãy số là một bước khởi đầu quan trọng trong việc học về giải tích. Việc nắm vững định nghĩa, các tính chất và các phương pháp tính giới hạn của dãy số sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và kỹ năng của mình.