Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo

I. Giới thiệu chung

Trong thống kê, trung vị và tứ phân vị là những số đặc trưng đo xu thế trung tâm, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố của dữ liệu. Khác với trung bình cộng, trung vị và tứ phân vị ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ, do đó chúng thường được sử dụng để mô tả dữ liệu khi có sự hiện diện của các giá trị bất thường.

Bài học này sẽ tập trung vào việc tính toán trung vị và tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm, tức là dữ liệu đã được phân chia thành các khoảng hoặc lớp khác nhau.

II. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị nằm ở giữa khi các dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Để tính trung vị, chúng ta cần xác định vị trí của trung vị và sau đó nội suy giá trị tương ứng từ bảng tần số ghép nhóm.

1. Xác định vị trí của trung vị

Vị trí của trung vị được tính bằng công thức:

L = (n + 1) / 2

Trong đó:

• L là vị trí của trung vị
• n là tổng số lượng dữ liệu

2. Nội suy giá trị trung vị

Sau khi xác định được vị trí của trung vị, chúng ta cần tìm khoảng chứa trung vị. Khoảng chứa trung vị là khoảng mà vị trí của trung vị nằm trong đó. Sau đó, chúng ta sử dụng công thức nội suy để tính giá trị trung vị:

M_e = L_i + [(L - F_i-1) / f_i] * h

Trong đó:

• M_e là trung vị
• L_i là cận dưới của khoảng chứa trung vị
• L là vị trí của trung vị
• F_i-1 là tần số tích lũy của khoảng trước khoảng chứa trung vị
• f_i là tần số của khoảng chứa trung vị
• h là khoảng lớp

III. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Tứ phân vị là các giá trị chia tập dữ liệu thành bốn phần bằng nhau. Có ba tứ phân vị:

• Q₁ (tứ phân vị thứ nhất): Giá trị chia 25% dữ liệu thấp nhất với 75% dữ liệu còn lại.
• Q₂ (tứ phân vị thứ hai): Trung vị của dữ liệu.
• Q₃ (tứ phân vị thứ ba): Giá trị chia 75% dữ liệu thấp nhất với 25% dữ liệu còn lại.

1. Tính Q₁ và Q₃

Công thức tính Q₁ và Q₃ tương tự như công thức tính trung vị, chỉ khác ở vị trí của tứ phân vị:

• Vị trí của Q₁ = n / 4
• Vị trí của Q₃ = 3n / 4

Sau đó, chúng ta sử dụng công thức nội suy tương tự như tính trung vị để tính giá trị Q₁ và Q₃.

IV. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Tổng số lượng dữ liệu (n) = 5 + 10 + 15 + 20 = 50

Tính trung vị (M_e):

Vị trí của trung vị (L) = (50 + 1) / 2 = 25.5

Khoảng chứa trung vị là [30-40) vì tần số tích lũy của khoảng [10-20) và [20-30) là 5 và 15, còn tần số tích lũy của khoảng [30-40) là 30.

M_e = 30 + [(25.5 - 15) / 15] * 10 = 30 + (10.5 / 15) * 10 = 37

Tính Q₁:

Vị trí của Q₁ = 50 / 4 = 12.5

Khoảng chứa Q₁ là [20-30)

Q₁ = 20 + [(12.5 - 5) / 10] * 10 = 27.5

Tính Q₃:

Vị trí của Q₃ = 3 * 50 / 4 = 37.5

Khoảng chứa Q₃ là [40-50)

Q₃ = 40 + [(37.5 - 30) / 20] * 10 = 43.75

V. Kết luận

Bài học này đã cung cấp cho các em kiến thức cơ bản về trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Việc hiểu rõ và áp dụng các công thức tính toán sẽ giúp các em phân tích và đánh giá dữ liệu một cách hiệu quả hơn trong các tình huống thực tế.