Bài 4. Khoảng cách trong không gian

Bài 4. Khoảng cách trong không gian - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trong SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc tính toán khoảng cách trong không gian ba chiều. Đây là một phần quan trọng của chương trình hình học không gian, giúp học sinh phát triển tư duy không gian và kỹ năng giải quyết vấn đề.

1. Khái niệm khoảng cách trong không gian

Trong không gian ba chiều, khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂) được tính theo công thức:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

Khoảng cách này là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Công thức này cho phép chúng ta xác định độ gần xa của một điểm so với một mặt phẳng trong không gian.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau, khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d₁ đến đường thẳng d₂ (hoặc ngược lại).

Để tính khoảng cách này, ta có thể chọn một điểm M thuộc d₁, sau đó tính khoảng cách từ M đến d₂ bằng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Bài tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến mặt phẳng 2x + 3y - z + 1 = 0.

Giải:

d = |2(0) + 3(0) - (0) + 1| / √(2² + 3² + (-1)²) = 1 / √14 = √14 / 14

5. Ứng dụng của kiến thức về khoảng cách trong không gian

Kiến thức về khoảng cách trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Trong kiến trúc và xây dựng: Tính toán khoảng cách giữa các công trình, đảm bảo an toàn và thẩm mỹ.
• Trong hàng không và vũ trụ: Xác định vị trí và khoảng cách giữa các vật thể trong không gian.
• Trong đồ họa máy tính: Tạo ra các mô hình 3D và tính toán khoảng cách giữa các đối tượng.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về khoảng cách trong không gian, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập trong SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các công thức và cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán cụ thể.

Việc hiểu rõ khái niệm và công thức tính khoảng cách trong không gian là nền tảng quan trọng để học tốt các kiến thức hình học không gian nâng cao hơn. Chúc các em học tập tốt!