Ứng dụng đạo hàm là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Nắm vững kiến thức này giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả và chính xác.
Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết ứng dụng đạo hàm, cùng với các bài tập ví dụ minh họa, giúp bạn hiểu sâu sắc và áp dụng thành thạo kiến thức này.
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
- Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển đọng trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật. Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t) - Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t - Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t - Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên - Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1 |
Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\)
a) Tìm vận tốc của vật sau 2s
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
Lời giải
a) Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s)
Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s)
b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = - \frac{b}{{2a}} = 2,5s\). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m)
c) Vật chạm đất khi h = 0, tức là \(2 + 24,5t - 4,9{t^2} = 0\) hay \(t \approx 5,08s\)
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s)
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn
2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản
Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa
Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng trong bài toán Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x) Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận |
Ví dụ: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất
Đổi 1 lít = 1000 cm3
Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ
Diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)
Do thể tích của hình trụ là 1000 cm3 nên ta có: \(V = \pi {r^2}h = 1000\) hay \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\)
Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2000}}{r},r > 0\)
Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
\(S' = 4\pi r - \frac{{2000}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}};S' = 0 \Leftrightarrow \pi {r^3} = 500 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)
BBT
Khi đó: \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}}\)
Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy \(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}} \approx 5,42(cm)\) và chiều cao \(h = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}} \approx 10,84(cm)\)
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, không chỉ để tìm hiểu về sự thay đổi của hàm số mà còn để giải quyết nhiều bài toán thực tế. Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, ứng dụng đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa toán học và cuộc sống.
Trước khi đi vào các ứng dụng thực tế, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm:
Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm là giải quyết các bài toán tối ưu. Các bài toán này thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng xác định.
Ví dụ: Tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích cho trước sao cho chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Ví dụ: Tìm mức sản lượng tối ưu để đạt lợi nhuận cao nhất.
Đạo hàm cũng được sử dụng để mô tả vận tốc và gia tốc của một vật thể chuyển động.
Ví dụ: Một vật thể chuyển động với vận tốc v(t) = 3t^2 + 2t. Tìm gia tốc của vật thể tại thời điểm t = 2.
Giải:
Gia tốc a(t) là đạo hàm của vận tốc v(t) theo thời gian t: a(t) = v'(t) = 6t + 2.
Thay t = 2 vào công thức tính gia tốc: a(2) = 6(2) + 2 = 14.
Để nắm vững kiến thức về ứng dụng đạo hàm, bạn cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. toan9.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hãy truy cập toan9.edu.vn để bắt đầu hành trình chinh phục môn Toán 12 Kết nối tri thức!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
