Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 82, 83, 84 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.
toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH THANG
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng \(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \) với độ chính xác 0,01.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).
Thuật toán: Để tính xấp xỉ \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với độ chính xác không vượt quá số \(\varepsilon \) cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Tính f’’(x) và tìm \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right|\) (hoặc đánh giá \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| \le M\) nếu việc tìm chính xác là khó).
Bước 2. Với sai số \(\varepsilon \) cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho \(\left| E \right| \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}M}}{{12{n^2}}} < \varepsilon \)
Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}}}{x}} \right)'} = \frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}},\) \(f''\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{{{e^x}.{x^3} - 2{x^2}.{e^x} + 2x.{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^3}}}\)
\(f'''\left( x \right) = \frac{{ - 6.{e^x} + 6x.{e^x} - 3{x^2}{e^x} + {x^3}{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right)}}{{{x^4}}}\)
\(f'''\left( x \right) = 0\) thì \(x \approx 1,596\)
Ta có: \(f''\left( 1 \right) = e,f''\left( {1,569} \right) = \frac{{1,355216{e^{1,569}}}}{{1,{{569}^3}}},f''\left( 2 \right) = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| = \left| {f'\left( 2 \right)} \right| = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Ta cần tìm n sao cho: \(\frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^3}.\frac{{{e^2}}}{4}}}{{12{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{{48{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow n > \frac{{5e}}{{2\sqrt 3 }}\)
Do đó, ta chọn \(n = 5\)
Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].
Áp dụng công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \approx \frac{{2 - 1}}{{10}}\left( {\frac{{{e^1}}}{1} + \frac{{2{e^{1,2}}}}{{1,2}} + \frac{{2{e^{1,4}}}}{{1,4}} + \frac{{2{e^{1,6}}}}{{1,6}} + \frac{{2{e^{1,8}}}}{{1,8}} + \frac{{{e^2}}}{2}} \right) \approx 3,065\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một thân cây dài 4,8m được cắt thành các khúc gỗ dài 60cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x(cm) là khoảng cách tính từ đỉnh cây đến vết cắt.
Tính thể tích gần đúng của thân cây này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).
Lời giải chi tiết:
Thế tích gần đúng của thân cây này là: \(V = \int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \)
Theo công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \approx \frac{{480}}{{2.9}}\left[ {240 + 2.248 + 2.256 + 2.260 + 2.264 + 2.272 + 2.298 + 2.316 + 320} \right] \approx \frac{{351040}}{3}\)
Vậy thể tích thân cây khoảng \(\frac{{351040}}{3}c{m^3}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng \(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \) với độ chính xác 0,01.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).
Thuật toán: Để tính xấp xỉ \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với độ chính xác không vượt quá số \(\varepsilon \) cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Tính f’’(x) và tìm \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right|\) (hoặc đánh giá \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| \le M\) nếu việc tìm chính xác là khó).
Bước 2. Với sai số \(\varepsilon \) cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho \(\left| E \right| \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}M}}{{12{n^2}}} < \varepsilon \)
Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}}}{x}} \right)'} = \frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}},\) \(f''\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{{{e^x}.{x^3} - 2{x^2}.{e^x} + 2x.{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^3}}}\)
\(f'''\left( x \right) = \frac{{ - 6.{e^x} + 6x.{e^x} - 3{x^2}{e^x} + {x^3}{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right)}}{{{x^4}}}\)
\(f'''\left( x \right) = 0\) thì \(x \approx 1,596\)
Ta có: \(f''\left( 1 \right) = e,f''\left( {1,569} \right) = \frac{{1,355216{e^{1,569}}}}{{1,{{569}^3}}},f''\left( 2 \right) = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| = \left| {f'\left( 2 \right)} \right| = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Ta cần tìm n sao cho: \(\frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^3}.\frac{{{e^2}}}{4}}}{{12{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{{48{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow n > \frac{{5e}}{{2\sqrt 3 }}\)
Do đó, ta chọn \(n = 5\)
Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].
Áp dụng công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \approx \frac{{2 - 1}}{{10}}\left( {\frac{{{e^1}}}{1} + \frac{{2{e^{1,2}}}}{{1,2}} + \frac{{2{e^{1,4}}}}{{1,4}} + \frac{{2{e^{1,6}}}}{{1,6}} + \frac{{2{e^{1,8}}}}{{1,8}} + \frac{{{e^2}}}{2}} \right) \approx 3,065\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một thân cây dài 4,8m được cắt thành các khúc gỗ dài 60cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x(cm) là khoảng cách tính từ đỉnh cây đến vết cắt.
Tính thể tích gần đúng của thân cây này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).
Lời giải chi tiết:
Thế tích gần đúng của thân cây này là: \(V = \int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \)
Theo công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \approx \frac{{480}}{{2.9}}\left[ {240 + 2.248 + 2.256 + 2.260 + 2.264 + 2.272 + 2.298 + 2.316 + 320} \right] \approx \frac{{351040}}{3}\)
Vậy thể tích thân cây khoảng \(\frac{{351040}}{3}c{m^3}\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về đạo hàm của hàm số hợp và đạo hàm của hàm số lượng giác. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học. Việc nắm vững các công thức và kỹ năng tính đạo hàm là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
Trang 82 tập trung vào các bài tập về đạo hàm của hàm số hợp. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải xác định được hàm trong và hàm ngoài để áp dụng quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x2 + 1).
Giải:
Trang 83 tiếp tục với các bài tập về đạo hàm của hàm số hợp, nhưng có độ phức tạp cao hơn. Một số bài tập yêu cầu học sinh phải kết hợp nhiều quy tắc đạo hàm khác nhau.
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = ecos(x).
Giải:
Trang 84 chuyển sang các bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải nhớ và áp dụng chính xác các công thức đạo hàm của sin, cos, tan, cot.
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = tan(2x).
Giải:
dy/dx = (sec2(2x)) * 2 = 2sec2(2x)
Hy vọng bài giải chi tiết mục 2 trang 82, 83, 84 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
