Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 61, 62, 63 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này được thiết kế để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong SGK.
toan9.edu.vn cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn luyện.
Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 63SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \) là \(\left( {1;2;5} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 63SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) và \(N\left( {x';y';z'} \right)\).
a) Hãy biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) qua các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow k \).
b) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \), \(\overrightarrow {ON} = x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k } \right) - \left( {x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k } \right)\)
\( = \left( {x' - x} \right).\overrightarrow i + \left( {y' - y} \right).\overrightarrow j + \left( {z' - z} \right).\overrightarrow k \)
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {x' - x;y' - y;z' - z} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 61 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải thích: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) Sử dụng kiến thức về hệ tọa độ trong không gian để giải thích: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz). Điểm O được gọi là gốc tọa độ, các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau và được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Lời giải chi tiết:
a) Vì OADB.CFME là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
b) Vì \(\overrightarrow i \) là vectơ đơn vị trên trục Ox nên \(\overrightarrow {OA} = x\overrightarrow i \) với x là số thực.
Vì \(\overrightarrow j \) là vectơ đơn vị trên trục Oy nên \(\overrightarrow {OB} = y\overrightarrow j \) với y là số thực.
Vì \(\overrightarrow k \) là vectơ đơn vị trên trục Oz nên \(\overrightarrow {OC} = z\overrightarrow k \) với z là số thực.
Do đó, \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C’.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ các điểm: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho
Lời giải chi tiết:
Theo Ví dụ 3 ta có: \(m = 2,n = 3,p = 5\).
Vì ABB’O là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OA} = n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \). Do đó, B(0; 3; 5)
Vì OB’C’D’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OC'} = \overrightarrow {OD'} + \overrightarrow {OB'} = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Do đó, C’(2; 3; 0)
Vì ADD’A’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD'} = m\overrightarrow i + p\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow k \). Do đó, D(2; 0; 5)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm tọa độ của điểm N trong Hình 2.39.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ điểm N: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Do đó, N(2; 5; 4).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 64SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D’ sao cho ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi tọa độ của điểm D là (x; y; z), tọa độ của D’ là \(\left( {x';y';z'} \right)\), khi đó \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 1;y;z - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D'} \left( {x - 5;y;z - 1} \right)\).
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì ABCD là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\y = - 5\\z - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 5\\z = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( {5; - 5;6} \right)\)
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì A’B’C’D’ là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {B'C'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 4\\y = - 5\\z - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = - 5\\z = 5\end{array} \right.\). Suy ra \(D'\left( {9; - 5;5} \right)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) và giải thích vì sao có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để giải thích: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Theo khái niệm tọa độ trong không gian ta có: \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Mà \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Do đó, có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 64SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng lên trên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
\(890.\frac{1}{2} = 445\left( {km} \right)\)
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là (0; 445; 0).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tính huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn với hệ tọa độ đó.
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn cách sàn nhà là 2m, cách hai bức tường lần lượt là 1m và 1,5m.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ bóng đèn: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:
+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó, bóng đèn có tọa độ (1,5; 1; 2).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 61 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải thích: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) Sử dụng kiến thức về hệ tọa độ trong không gian để giải thích: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz). Điểm O được gọi là gốc tọa độ, các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau và được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Lời giải chi tiết:
a) Vì OADB.CFME là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
b) Vì \(\overrightarrow i \) là vectơ đơn vị trên trục Ox nên \(\overrightarrow {OA} = x\overrightarrow i \) với x là số thực.
Vì \(\overrightarrow j \) là vectơ đơn vị trên trục Oy nên \(\overrightarrow {OB} = y\overrightarrow j \) với y là số thực.
Vì \(\overrightarrow k \) là vectơ đơn vị trên trục Oz nên \(\overrightarrow {OC} = z\overrightarrow k \) với z là số thực.
Do đó, \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm tọa độ của điểm N trong Hình 2.39.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ điểm N: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Do đó, N(2; 5; 4).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C’.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ các điểm: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho
Lời giải chi tiết:
Theo Ví dụ 3 ta có: \(m = 2,n = 3,p = 5\).
Vì ABB’O là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OA} = n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \). Do đó, B(0; 3; 5)
Vì OB’C’D’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OC'} = \overrightarrow {OD'} + \overrightarrow {OB'} = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Do đó, C’(2; 3; 0)
Vì ADD’A’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD'} = m\overrightarrow i + p\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow k \). Do đó, D(2; 0; 5)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tính huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn với hệ tọa độ đó.
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn cách sàn nhà là 2m, cách hai bức tường lần lượt là 1m và 1,5m.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ bóng đèn: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:
+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó, bóng đèn có tọa độ (1,5; 1; 2).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) và giải thích vì sao có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để giải thích: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Theo khái niệm tọa độ trong không gian ta có: \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Mà \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Do đó, có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 63SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \) là \(\left( {1;2;5} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 63SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) và \(N\left( {x';y';z'} \right)\).
a) Hãy biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) qua các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow k \).
b) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \), \(\overrightarrow {ON} = x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k } \right) - \left( {x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k } \right)\)
\( = \left( {x' - x} \right).\overrightarrow i + \left( {y' - y} \right).\overrightarrow j + \left( {z' - z} \right).\overrightarrow k \)
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {x' - x;y' - y;z' - z} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 64SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D’ sao cho ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi tọa độ của điểm D là (x; y; z), tọa độ của D’ là \(\left( {x';y';z'} \right)\), khi đó \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 1;y;z - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D'} \left( {x - 5;y;z - 1} \right)\).
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì ABCD là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\y = - 5\\z - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 5\\z = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( {5; - 5;6} \right)\)
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì A’B’C’D’ là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {B'C'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 4\\y = - 5\\z - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = - 5\\z = 5\end{array} \right.\). Suy ra \(D'\left( {9; - 5;5} \right)\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 64SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng lên trên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
\(890.\frac{1}{2} = 445\left( {km} \right)\)
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là (0; 445; 0).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là trong việc học tập các kiến thức về đạo hàm và tích phân ở các lớp trên. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về sự biến đổi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định.
Ví dụ: Tính lim (x→2) (x2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử thức thành (x - 2)(x + 2). Khi đó, biểu thức trở thành lim (x→2) (x + 2). Thay x = 2 vào, ta được kết quả là 4.
Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số y = (2x + 1) / (x - 3)
Lời giải: Tiệm cận đứng là x = 3. Tiệm cận ngang là y = 2.
Các bài toán ứng dụng giới hạn thường liên quan đến việc tính tốc độ thay đổi của một đại lượng, tìm giá trị giới hạn của một dãy số, hoặc chứng minh một biểu thức nào đó.
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập về giới hạn hàm số. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
