Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về cách biểu diễn các phép toán vecto bằng tọa độ, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
Các phép toán vecto cơ bản
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\) \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\) \(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực |
Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\] Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\] |
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\) |
3. Vận dụng tọa độ của vecto trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn
Ví dụ: Trong không gian với một hệ trục cho trước (đơn vị đo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B (940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?
Giải:
Gọi C(x;y;z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do vận tốc bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB = 2BC.
Do đó, \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{940 - 800}}{2};\frac{{550 - 500}}{2};\frac{{8 - 7}}{2}} \right) = \left( {70;25;0,5} \right)\).
Mặt khác, \(\overrightarrow {BC} = (x - 940;y - 550;z - 8)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 940 = 70\\y - 550 = 25\\z - 8 = 0,5\end{array} \right.\).
Từ đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1010\\y = 575\\z = 8,5\end{array} \right.\) và vì vậy C(1010;575;8,5).
Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010;575;8,5).
Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần hình học vecto đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là việc ứng dụng biểu thức tọa độ để giải quyết các bài toán. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto, bao gồm cộng, trừ, nhân với một số, tích vô hướng và tích có hướng.
Một vectơ a được biểu diễn bằng cặp tọa độ (x; y), trong đó x là hoành độ và y là tung độ của vectơ. Vectơ a = (x; y) có điểm đầu là A và điểm cuối là B, với A(xA; yA) và B(xB; yB) thì x = xB - xA và y = yB - yA.
Cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2). Khi đó, tổng của hai vectơ a + b = (x1 + x2; y1 + y2). Nói cách khác, để cộng hai vectơ, ta cộng các hoành độ và các tung độ tương ứng.
Cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2). Khi đó, hiệu của hai vectơ a - b = (x1 - x2; y1 - y2). Tương tự như phép cộng, ta trừ các hoành độ và các tung độ tương ứng.
Cho vectơ a = (x; y) và một số thực k. Khi đó, tích của vectơ a với số k là ka = (kx; ky). Phép nhân vectơ với một số thực làm thay đổi độ dài của vectơ, và nếu k < 0 thì vectơ đổi hướng.
Cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2). Tích vô hướng của hai vectơ a. b = x1x2 + y1y2. Tích vô hướng được sử dụng để tính góc giữa hai vectơ và kiểm tra tính vuông góc của chúng. Nếu a. b = 0 thì hai vectơ vuông góc với nhau.
Trong không gian, cho hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2). Tích có hướng của hai vectơ a x b = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2). Tích có hướng là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b, và độ dài của nó bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ đó.
Để nắm vững lý thuyết, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
