Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình mặt cầu trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tại toan9.edu.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về phương trình mặt cầu, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về định nghĩa, phương trình tổng quát của mặt cầu, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu, và các ứng dụng thực tế của kiến thức này.
1. Phương trình mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) |
Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E(0 < \alpha ,\beta < 90)\) thì có tọa độ \(M(\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ })\). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: \({10^ \circ }N,{15^ \circ }E\) đến vị trí Q: \({80^ \circ }N,{70^ \circ }E\).
Giải:
Ta có: \(P(\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(Q(\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Suy ra: \(\overrightarrow {OP} = (\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(\overrightarrow {OQ} = (\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Do đó,
\(\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} = \cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ } + \cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ } + \sin {10^ \circ }\sin {80^ \circ } \approx 0,2691\).
Vì P, Q thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = 1\).
Do đó \(\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} \approx 0,2691.\) Suy ra, \(\widehat {POQ} \approx 74,{3893^ \circ }\).
Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là \(2\pi \approx 6,2832\), nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{74,3893}}{{360}}.6,2832 \approx 1,2983\).
Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).
Phương trình mặt cầu là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 12. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R được viết như sau:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Phương trình (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi R > 0.
a. Mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ O(0; 0; 0): Phương trình có dạng x² + y² + z² = R²
b. Khoảng cách từ một điểm đến mặt cầu:
Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt cầu (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² được tính bằng:
d(M, S) = |IM - R| (trong đó IM là khoảng cách từ M đến tâm I)
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 5.
Giải: Phương trình mặt cầu là: (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25
Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0
Giải:
Ta có: a = 2, b = -1, c = 3
Tâm I(2; -1; 3)
R = √(a² + b² + c² - d) = √(2² + (-1)² + 3² - 5) = √6
Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như toan9.edu.vn.
Bài học về lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về chủ đề này. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt cầu.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
