Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 5 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán có tính ứng dụng cao trong thực tiễn. Đây là một phần quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa toán học và đời sống.

I. Mục tiêu bài học

• Nắm vững phương pháp sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa, bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi.
• Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán, xây dựng mô hình toán học và giải quyết bằng đạo hàm.
• Hiểu được ý nghĩa thực tiễn của đạo hàm trong các lĩnh vực khác nhau.

II. Nội dung bài học

1. Bài toán tối ưu hóa

Đây là loại bài toán thường gặp, yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước. Để giải quyết bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số cần tối ưu hóa.
2. Tìm tập xác định của hàm số.
3. Tính đạo hàm của hàm số.
4. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.
5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của tập xác định.
6. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Ví dụ: Một người nông dân muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần sử dụng bao nhiêu mét hàng rào để rào mảnh đất với chi phí thấp nhất?

2. Bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi

Loại bài toán này thường yêu cầu tính tốc độ thay đổi của một đại lượng nào đó theo thời gian hoặc theo một biến số khác. Để giải quyết bài toán này, ta sử dụng đạo hàm để biểu diễn tốc độ thay đổi.

Ví dụ: Một vật thể chuyển động theo phương trình s(t) = t² + 2t, trong đó s(t) là quãng đường đi được sau thời gian t. Hỏi vận tốc của vật thể tại thời điểm t = 3 là bao nhiêu?

3. Bài toán ứng dụng trong kinh tế

Đạo hàm được ứng dụng rộng rãi trong kinh tế để phân tích các vấn đề như tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí, sản lượng,...

Ví dụ: Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với chi phí sản xuất là C(x) = x² + 10x + 50, trong đó x là số lượng sản phẩm sản xuất. Hỏi công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí sản xuất trên mỗi sản phẩm là thấp nhất?

III. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán ứng dụng đạo hàm, các em cần luyện tập thường xuyên. Dưới đây là một số bài tập luyện tập:

• Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].
• Bài 2: Một người muốn xây một bể chứa nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 8m³. Hỏi người đó cần sử dụng bao nhiêu mét vuông vật liệu để xây bể với chi phí thấp nhất?
• Bài 3: Một công ty có hàm chi phí sản xuất là C(x) = 0.1x² + 5x + 100. Giá bán mỗi sản phẩm là 10. Hỏi công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa?

IV. Kết luận

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán ứng dụng đạo hàm sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán thực tế và ứng dụng toán học vào cuộc sống.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công!