Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Bài 19 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất có điều kiện.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác loại trừ lẫn nhau.

Phát biểu: Giả sử A là một biến cố và B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và hợp của chúng bằng A (A = B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n). Khi đó, xác suất của A được tính theo công thức:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... + P(B_n)P(A|B_n)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B_i) là xác suất của biến cố B_i.
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.

Phát biểu: Giả sử A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất có điều kiện của A khi biết B đã xảy ra được tính theo công thức:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

Trong đó:

• P(A|B) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra.
• P(B|A) là xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất sản phẩm đó là sản phẩm lỗi.

Giải:

Gọi A là biến cố sản phẩm là sản phẩm lỗi.

Gọi B₁ là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.

Gọi B₂ là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta có: P(B₁) = 0.6, P(B₂) = 0.4, P(A|B₁) = 0.02, P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) = 0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất sản phẩm là sản phẩm lỗi là 0.024.

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.
• Bài 2: Một cuộc khảo sát cho thấy 70% người dân ủng hộ chính sách A. Trong số những người ủng hộ chính sách A, 60% là nam giới. Trong số những người không ủng hộ chính sách A, 30% là nam giới. Tính xác suất một người được chọn ngẫu nhiên là nam giới và ủng hộ chính sách A.

5. Kết luận

Bài 19 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc hiểu rõ và vận dụng linh hoạt hai công thức này sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả các bài toán xác suất trong chương trình Toán 12 và trong thực tế.