Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức trên toan9.edu.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
Bài giải này được xây dựng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Tính đơn điệu của hàm số
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng K.
+ Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng K.
+ Nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng K.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = - 2x + 2,y' > 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\); \(y < 0\) với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Quan sát đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\) (H.1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(y = f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Từ đồ thị ta thấy:
+ Xét khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 < x_2^2\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
Suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Xét khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 > x_2^2\)hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
Suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)' = 3{x^2} - 6x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3},x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\)
b) Bảng biến thiên:
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).
b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.
Bài toán mở đầu:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = {t^3} - 9{t^2} + 15t,t \ge 0\). Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa cơ học của đạo hàm để tìm hàm vận tốc: Theo ý nghĩa cơ học, vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm số s(t).
b) Chất điểm chuyển động theo chiều dương khi \(v\left( t \right) > 0\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm khi \(v\left( t \right) < 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} - 9{t^2} + 15t} \right)' = 3{t^2} - 18t + 15\)
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 > 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 5\end{array} \right.\)
\(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 < 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 5\)
Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left( t \right) > 0\), tức là \(t \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left( t \right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi lên từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi xuống từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), \(\left( {1; + \infty } \right)\). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm nhận xét:
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Lời giải chi tiết:
a) + Xét khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta có: \(y' = \left( { - x} \right)' = - 1 < 0\)
Trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta thấy hàm số y nghịch biến và đạo hàm \(y' < 0\).
+ Xét khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có: \(y' = x' = 1 > 0\)
Trong khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta thấy hàm số y đồng biến và đạo hàm \(y' > 0\).
b) Trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có: \(y' = \left( 1 \right)' = 0\)
Trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta thấy hàm số y không đổi và đạo hàm \(y' = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\);
b) \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu của hàm số để tìm khoảng đơn điệu của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\):
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = {x^2} + 6x + 5,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 5; - 1} \right)\).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Quan sát đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\) (H.1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(y = f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Từ đồ thị ta thấy:
+ Xét khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 < x_2^2\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
Suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Xét khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 > x_2^2\)hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
Suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi lên từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi xuống từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), \(\left( {1; + \infty } \right)\). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm nhận xét:
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Lời giải chi tiết:
a) + Xét khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta có: \(y' = \left( { - x} \right)' = - 1 < 0\)
Trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta thấy hàm số y nghịch biến và đạo hàm \(y' < 0\).
+ Xét khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có: \(y' = x' = 1 > 0\)
Trong khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta thấy hàm số y đồng biến và đạo hàm \(y' > 0\).
b) Trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có: \(y' = \left( 1 \right)' = 0\)
Trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta thấy hàm số y không đổi và đạo hàm \(y' = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng K.
+ Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng K.
+ Nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng K.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = - 2x + 2,y' > 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\); \(y < 0\) với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)' = 3{x^2} - 6x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3},x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\)
b) Bảng biến thiên:
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\);
b) \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu của hàm số để tìm khoảng đơn điệu của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\):
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = {x^2} + 6x + 5,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 5; - 1} \right)\).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).
b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.
Bài toán mở đầu:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = {t^3} - 9{t^2} + 15t,t \ge 0\). Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa cơ học của đạo hàm để tìm hàm vận tốc: Theo ý nghĩa cơ học, vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm số s(t).
b) Chất điểm chuyển động theo chiều dương khi \(v\left( t \right) > 0\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm khi \(v\left( t \right) < 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} - 9{t^2} + 15t} \right)' = 3{t^2} - 18t + 15\)
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 > 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 5\end{array} \right.\)
\(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 < 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 5\)
Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left( t \right) > 0\), tức là \(t \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left( t \right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức giới thiệu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu các khái niệm nâng cao hơn như đạo hàm và tích phân. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và chính xác.
Mục 1 tập trung vào các nội dung sau:
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa và các tính chất của giới hạn để tính giới hạn của các hàm số đơn giản. Ví dụ:
lim (x→2) (x^2 + 1)
Lời giải: Thay x = 2 vào hàm số, ta được: 2^2 + 1 = 5. Vậy lim (x→2) (x^2 + 1) = 5.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định giới hạn của hàm số tại một điểm bằng cách sử dụng các phương pháp như phân tích thành nhân tử, chia tử và mẫu cho x, hoặc sử dụng các công thức giới hạn đặc biệt.
Ví dụ: Tìm lim (x→0) (sin x / x)
Lời giải: Sử dụng công thức giới hạn đặc biệt lim (x→0) (sin x / x) = 1. Vậy lim (x→0) (sin x / x) = 1.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn để giải các bài toán thực tế liên quan đến sự thay đổi của các đại lượng. Ví dụ:
Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = t^2 + 1 (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 2 (s).
Lời giải: Quãng đường vật đi được là tích phân của vận tốc từ 0 đến 2: ∫(0→2) (t^2 + 1) dt = [t^3/3 + t](0→2) = (8/3 + 2) - (0 + 0) = 14/3 (m).
Ngoài SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 1 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức trên toan9.edu.vn sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn hàm số và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
