Giải bài tập 3.12 trang 85 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 3.12 trang 85 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài tập 3.12 trang 85 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thuộc chương 3: Đạo hàm, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm bậc nhất, đạo hàm bậc hai để xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số.

Nội dung bài tập 3.12

Bài tập 3.12 thường có dạng hàm số bậc ba hoặc bậc bốn, yêu cầu học sinh:

• Xác định tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của hàm số.
• Tìm các điểm cực trị của hàm số (điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không xác định).
• Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất.
• Tìm các điểm uốn của hàm số (điểm mà đạo hàm bậc hai bằng 0 hoặc không xác định).
• Vẽ đồ thị hàm số.

Phương pháp giải bài tập 3.12

Để giải bài tập 3.12 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:

1. Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
2. Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất y' và đạo hàm bậc hai y''.
3. Bước 3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị.
4. Bước 4: Lập bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
5. Bước 5: Giải phương trình y'' = 0 để tìm các điểm uốn.
6. Bước 6: Xác định tiệm cận (nếu có).
7. Bước 7: Vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa giải bài tập 3.12

Bài tập: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

Giải:

1. Tập xác định: D = ℝ
2. Đạo hàm: y' = 3x² - 6x; y'' = 6x - 6
3. Điểm cực trị: y' = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
4. Bảng biến thiên:

   x	-∞	0	2	+∞
   y'	+	-	+
   y	↗	↘	↗

5. Điểm uốn: y'' = 0 ⇔ 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1
6. Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2. Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2. Hàm số có điểm uốn tại x = 1.

Lưu ý khi giải bài tập 3.12

• Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
• Chú ý đến dấu của đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị, điểm uốn.
• Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác để kiểm tra lại kết quả.
• Thực hành nhiều bài tập khác nhau để nắm vững phương pháp giải.

Tổng kết

Bài tập 3.12 trang 85 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!