Bài 18. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, công thức và các ứng dụng của xác suất có điều kiện trong chương trình Toán 12 - Kết nối tri thức.

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là hai biến cố. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

2. Tính chất của xác suất có điều kiện

• 0 ≤ P(A|B) ≤ 1
• P(A|B) = 1 khi và chỉ khi A ⊆ B (A là tập con của B)
• P(A|Ω) = P(A), với Ω là không gian mẫu.

3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

a. Công thức xác suất đầy đủ:

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω, thì:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

b. Công thức Bayes:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / [P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)]

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “cả hai quả bóng đều màu đỏ”. Ta có:

P(A) = C²₅ / C²₈ = 10 / 28 = 5/14

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi môn Toán và 40% học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên là học sinh giỏi môn Toán khi biết học sinh đó giỏi môn Văn.

Giải:

Gọi A là biến cố “học sinh giỏi môn Toán” và B là biến cố “học sinh giỏi môn Văn”. Ta có:

P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.2

Xác suất cần tìm là P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.2 / 0.4 = 0.5

5. Bài tập áp dụng

1. Một đồng xu được tung 2 lần. Tính xác suất để mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần, biết rằng lần tung đầu tiên xuất hiện mặt sấp.
2. Trong một nhà máy, có 3 máy sản xuất cùng loại. Máy 1 sản xuất được 60% sản phẩm đạt tiêu chuẩn, máy 2 sản xuất được 70% sản phẩm đạt tiêu chuẩn, máy 3 sản xuất được 80% sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Chọn ngẫu nhiên một máy và sản xuất một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cần thiết về xác suất có điều kiện. Chúc các em học tập tốt!