Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian, một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và các công cụ cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá khái niệm hệ trục tọa độ, cách xác định tọa độ của điểm và vector trong không gian, cũng như các ứng dụng thực tế của lý thuyết này.
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz - Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz - Điểm O được gọi là gốc tọa độ - Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz |
2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vecto trong không gian
Tọa độ của điểm
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x,y,z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M |
Tọa độ của vecto
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a \) = (x,y,z) hoặc \(\overrightarrow a \) (x,y,z) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó: \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\) |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)
Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)
Hệ trục tọa độ trong không gian là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta biểu diễn vị trí của các điểm và vector một cách chính xác và dễ dàng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết này, bao gồm các khái niệm cơ bản, công thức và ứng dụng.
Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian là tập hợp ba trục vuông góc với nhau tại một điểm gốc O. Ba trục này thường được ký hiệu là Ox, Oy và Oz. Mỗi trục tương ứng với một chiều trong không gian.
Tọa độ của một điểm M trong không gian được biểu diễn bằng một bộ ba số (x; y; z), trong đó x, y, z là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy, Oz. Ký hiệu M(x; y; z).
Một vector a trong không gian được xác định bởi bộ ba số (ax; ay; az), trong đó ax, ay, az là tọa độ của vector a theo các trục Ox, Oy, Oz. Ký hiệu a = (ax; ay; az).
Tích vô hướng của hai vector a = (ax; ay; az) và b = (bx; by; bz) được tính bằng công thức:
a . b = ax * bx + ay * by + az * bz
Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vector, kiểm tra tính vuông góc của hai vector.
Tích có hướng của hai vector a = (ax; ay; az) và b = (bx; by; bz) là một vector c = a x b, có tọa độ được tính bằng công thức:
c = (ay * bz - az * by; az * bx - ax * bz; ax * by - ay * bx)
Ứng dụng của tích có hướng: Tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vector, tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó (A; B; C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Đường thẳng trong không gian có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.
(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c
Bài 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Giải: AB = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²) = √(9 + 9 + 9) = √27 = 3√3
Bài 2: Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z - 5 = 0.
Giải: Vector pháp tuyến của mặt phẳng là (2; -1; 3).
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
