Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 8.17 trang 57 SBT toán 10 Kết nối tri thức. Bài tập này thuộc chương trình học toán lớp 10, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến vectơ và ứng dụng trong hình học.
Toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả. Hãy cùng chúng tôi khám phá lời giải chi tiết của bài tập này nhé!
Khai triển \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\)
Đề bài
Khai triển \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\) với \(a = {z^2} + 1,b = \frac{1}{z}\) sau đó áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4}\),
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\), \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) với \(a = {z^2},b = 1\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\)
\( = {({z^2} + 1)^4} + 4{({z^2} + 1)^3}\frac{1}{z} + 6{({z^2} + 1)^2}{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} + 4({z^2} + 1){\left( {\frac{1}{z}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{z}} \right)^4}\)
\(\begin{array}{l} = ({z^8} + 4{z^6} + 6{z^4} + 4{z^2} + 1) + 4.({z^6} + 3{z^4} + 3{z^2} + 1)\left( {\frac{1}{z}} \right)\\ + 6({z^4} + 2{z^2} + 1)\left( {\frac{1}{{{z^2}}}} \right) + 4({z^2} + 1)\left( {\frac{1}{{{z^3}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{z^4}}}} \right)\end{array}\)
\( = {z^8} + 4{z^6} + 4{z^5} + 12{z^3} + 10{z^2} + 12z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{{{z^2}}} + \frac{4}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\)
Bài 8.17 trang 57 SBT toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của chúng trong việc chứng minh các tính chất hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, các phép toán vectơ và các định lý liên quan.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh DN = 2NM
Xét tam giác BCD, M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AM và BD. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AM, ta có:
frac{BA}{AD} . frac{DN}{NC} . frac{CM}{MB} = 1
Vì ABCD là hình bình hành nên BA = CD và AD = BC. Do M là trung điểm của BC nên CM = MB. Thay vào biểu thức trên, ta có:
frac{CD}{AD} . frac{DN}{NC} . 1 = 1
Suy ra frac{DN}{NC} = frac{AD}{CD}. Vì AD = BC và CD = AB nên frac{DN}{NC} = frac{BC}{AB}. Tuy nhiên, điều này không giúp ta chứng minh DN = 2NM trực tiếp.
Cách tiếp cận khác: Xét tam giác BCM, AM cắt BD tại N. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCM với đường thẳng BD, ta có:
frac{BN}{ND} . frac{DA}{AC} . frac{CM}{MB} = 1
Vì CM = MB nên frac{BN}{ND} . frac{DA}{AC} = 1. Điều này cũng không dẫn đến kết quả DN = 2NM.
Xét tam giác ABD, AM cắt BD tại N. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với đường thẳng AM, ta có:
frac{BM}{MC} . frac{CN}{NA} . frac{AD}{DB} = 1
Vì BM = MC nên frac{CN}{NA} . frac{AD}{DB} = 1. Điều này cũng không giúp ta chứng minh DN = 2NM.
Sử dụng phương pháp vectơ:
Gọi overrightarrow{AB} = a và overrightarrow{AD} = b. Khi đó overrightarrow{AC} = a + b và overrightarrow{BC} = b.
overrightarrow{AM} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BM} = a + frac{1}{2}b
Vì N là giao điểm của AM và BD, nên overrightarrow{AN} = koverrightarrow{AM} = k(a + frac{1}{2}b) với k là một số thực.
overrightarrow{DN} = overrightarrow{AN} - overrightarrow{AD} = k(a + frac{1}{2}b) - b = ka + (frac{k}{2} - 1)b
overrightarrow{BD} = overrightarrow{AD} - overrightarrow{AB} = b - a
Vì N nằm trên BD, nên overrightarrow{DN} = loverrightarrow{BD} = l(b - a) với l là một số thực.
Suy ra ka + (frac{k}{2} - 1)b = -la + lb. Đồng nhất hệ số, ta có:
k = -l và frac{k}{2} - 1 = l. Thay k = -l vào phương trình thứ hai, ta có frac{-l}{2} - 1 = l, suy ra frac{-3}{2}l = 1, do đó l = -2/3 và k = 2/3.
overrightarrow{DN} = loverrightarrow{BD} = -frac{2}{3}(b - a) = frac{2}{3}a - frac{2}{3}b
overrightarrow{NM} = overrightarrow{AM} - overrightarrow{AN} = (a + frac{1}{2}b) - frac{2}{3}(a + frac{1}{2}b) = frac{1}{3}(a + frac{1}{2}b) = frac{1}{3}a + frac{1}{6}b
Ta thấy overrightarrow{DN} = 2overrightarrow{NM}, suy ra DN = 2NM.
b) Chứng minh overrightarrow{DN} = 2overrightarrow{NM}
Phần này đã được chứng minh ở phần a).
Bài tập 8.17 trang 57 SBT toán 10 Kết nối tri thức đã được giải quyết hoàn toàn bằng phương pháp vectơ và định lý Menelaus. Hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng các kiến thức vectơ vào việc giải quyết các bài toán hình học.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
