Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

I. Giới thiệu chung

Trong chương trình Toán 10, việc giải phương trình là một kỹ năng quan trọng. Bài 18 trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức tập trung vào một loại phương trình đặc biệt: phương trình quy về phương trình bậc hai. Những phương trình này thoạt nhìn có vẻ phức tạp, nhưng thực chất có thể được biến đổi về dạng phương trình bậc hai quen thuộc, từ đó áp dụng các công thức và phương pháp giải đã học.

II. Lý thuyết trọng tâm

1. Các dạng phương trình thường gặp

• Phương trình chứa căn thức: Các phương trình có chứa biểu thức căn thức, thường cần phải bình phương hai vế để khử căn thức và đưa về phương trình bậc hai.
• Phương trình chứa mẫu số: Các phương trình có chứa phân thức, cần xác định điều kiện xác định của phương trình và quy đồng mẫu số để giải.
• Phương trình tích: Các phương trình có dạng A(x) * B(x) = 0, giải bằng cách cho từng nhân tử bằng 0.
• Phương trình chia: Các phương trình có dạng A(x) / B(x) = 0, giải bằng cách cho tử số bằng 0 và mẫu số khác 0.

2. Phương pháp giải

Để giải các phương trình quy về phương trình bậc hai, ta thường thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi phương trình: Sử dụng các phép biến đổi đại số (bình phương, quy đồng, phân tích thành nhân tử,...) để đưa phương trình về dạng ax² + bx + c = 0.
2. Giải phương trình bậc hai: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc sử dụng phương pháp hoàn thiện bình phương để tìm nghiệm.
3. Kiểm tra nghiệm: Thay các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện xác định hay không.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình √(x+2) = x

Giải:

1. Bình phương hai vế: (√(x+2))² = x² => x + 2 = x²
2. Đưa về phương trình bậc hai: x² - x - 2 = 0
3. Giải phương trình bậc hai: Δ = (-1)² - 4(1)(-2) = 9 => x₁ = 2, x₂ = -1
4. Kiểm tra nghiệm:
• Với x = 2: √(2+2) = √4 = 2 (thỏa mãn)
• Với x = -1: √(-1+2) = √1 = 1 ≠ -1 (không thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Ví dụ 2: Giải phương trình (x+1)/(x-1) = 2

Giải:

1. Điều kiện xác định: x ≠ 1
2. Quy đồng mẫu số: x + 1 = 2(x - 1)
3. Giải phương trình: x + 1 = 2x - 2 => x = 3
4. Kiểm tra nghiệm: x = 3 thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức:

• Bài 18.1
• Bài 18.2
• Bài 18.3

V. Kết luận

Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng phương trình này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán phức tạp. Chúc bạn học tập tốt!