Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 17 trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu dấu của tam thức bậc hai, một khái niệm quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai và đồ thị của chúng. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai giúp ta xác định khoảng giá trị của x mà tam thức dương, âm hoặc bằng không, từ đó suy ra các tính chất của hàm số và đồ thị tương ứng.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, ta cần xét nghiệm (delta) Δ = b² - 4ac.

• Nếu Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Khi đó:
• f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
• f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
• f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂
• Nếu Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀ = -b/(2a). Khi đó:
• f(x) > 0 khi x ≠ x₀
• f(x) = 0 khi x = x₀
• Nếu Δ < 0: Tam thức bậc hai vô nghiệm. Khi đó:
• f(x) > 0 với mọi x

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² - 5x + 6.

Ta có Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0. Vậy tam thức có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (5 - √1)/2 = 2

x₂ = (5 + √1)/2 = 3

Do đó:

• f(x) > 0 khi x < 2 hoặc x > 3
• f(x) < 0 khi 2 < x < 3
• f(x) = 0 khi x = 2 hoặc x = 3

4. Ứng dụng của việc xác định dấu tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong việc:

• Giải bất phương trình bậc hai
• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai
• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai
• Nghiên cứu tính chất của đồ thị hàm số bậc hai

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về dấu của tam thức bậc hai, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Xác định dấu của tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 3x - 5
2. Giải bất phương trình 2x² + 3x - 5 > 0
3. Tìm khoảng giá trị của x để f(x) = -x² + 4x - 3 ≤ 0

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Chúc bạn học tập tốt!