Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp kiến thức và giải pháp học tập hiệu quả nhất.
Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 1.
Đề bài
Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng 1.
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)
b) Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \)
c) Lấy điểm \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {MP} \) thuộc hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn \(MP.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính đường cao \(AM,\) tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)
- Tính độ dài \(MN\) xong áp dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài cạnh \(AN\)
- Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AN} \)
- Chứng minh \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} \)và \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} \) xong dùng phương pháp biến đổi
- Áp dụng định lý hàm cosin để tính cạnh \(MP\)
Lời giải chi tiết
a) Xét \(\Delta ABC\) đều cạnh bằng 1 có: \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\)
\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {{30}^ \circ }}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{150}^ \circ }}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{4}\)
\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {150^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{ - 3}}{4}\)
b) Ta có: \(MN = CM + CN = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\)
Ta có: \(\widehat {MAN} = {60^ \circ }\)
Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\) có:
\(AN = \sqrt {A{M^2} + M{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 .\cos {60^ \circ } = \frac{3}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)
c) Ta có: \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\)
Nên \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} } \right) = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} \)
Ta có: \(AP = \frac{3}{4}AN = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow \) \(MP = \sqrt {A{P^2} + A{M^2} - 2AP.AM.\cos \widehat {MAP}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\)
Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống thuộc chương trình học Toán lớp 10, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Bài toán này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm như vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các tính chất hình học.
Bài toán 4.29 thường yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến các điểm trong một hình học cụ thể, ví dụ như hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hoặc tam giác. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần:
Có một số phương pháp thường được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến vectơ:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của bài toán 4.29, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và hình vẽ minh họa nếu cần thiết. Lời giải sẽ được trình bày một cách logic và dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải.)
Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải, chúng ta hãy xem xét một ví dụ minh họa:
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng overrightarrow{CM} = (1/2)overrightarrow{AB} + vectoring{BC}.
Lời giải:
Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập sau:
Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ trong việc giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa, các em sẽ hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
