Giải bài tập 8 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\);

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\);

c) \(f\left( x \right) = \frac{{In\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);

d) \(f\left( x \right) = 2sin3x + 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Lời giải chi tiết

a) \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\)

Tìm điểm cực trị: \(f'\left( x \right) = 0 \to 6{x^2} - 6 = 0 \to x = - 1, x = 1\)

So sánh giá trị hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( { - 1} \right) = 2{( - 1)^3} - 6\left( { - 1} \right) = - 2 + 6 = 4\)

\(f\left( 1 \right) = 2{(1)^3} - 6\left( 1 \right) = 2 - 6 = - 4\)

\(f\left( 3 \right) = 2{(3)^3} - 6\left( 3 \right) = 54 - 18 = 36\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \( - 4\) (tại \(x = 1\)), và GTLN là 36 (tại \(x = 3\))

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\)

\(f'(x) = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Khi đó trên đoạn [1;5] không tồn tại x để f’(x) = 0.

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} + 3.1 + 6}}{{1 + 2}} = \frac{{10}}{3};f\left( 5 \right) = \frac{{{5^2} + 3.5 + 6}}{{5 + 2}} = \frac{{46}}{7}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) là \(\frac{{10}}{3}\) (tại \(x = 1\)), và GTLN là \(\frac{{46}}{7}\) (tại \(x = 5\))

c) \(f\left( x \right) = \frac{{In\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)

So sánh giá trị hàm số:

\(f\left( 0 \right) = \frac{{\ln \left( {0 + 1} \right)}}{{0 + 1}} = 0; f(e - 1) = \frac{1}{{e + 1}}; f\left( 3 \right) = \frac{{\ln \left( {3 + 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là 0 (tại \(x = 0\)), và GTLN là \(\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}\) (tại \(x = 3\))

d) \(f\left( x \right) = 2sin3x + 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

\(f'(x) = 6\cos 3x + 7\). Khi đó trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có f’(x) > 0, hàm số đồng biến

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 1 = 3 - \frac{{7\pi }}{2}\)

\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1 = - 1 + \frac{{7\pi }}{2}\)

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(3 - \frac{{7\pi }}{2}\) (tại \(x = \frac{{ - \pi }}{2}\)), và GTLN là \( - 1 + \frac{{7\pi }}{2}\) (tại \(x = \frac{\pi }{2}\))