Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - SGK Toán 12 - Cánh diều

I. Khái niệm nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng K là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ: ∫2x dx = x² + C

II. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp

1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)

Ví dụ: ∫x³ dx = (x⁴)/4 + C

2. Nguyên hàm của hàm số 1/x

∫(1/x) dx = ln|x| + C

Ví dụ: ∫(1/x) dx = ln|x| + C

3. Nguyên hàm của hàm số e^x

∫e^x dx = e^x + C

Ví dụ: ∫e^x dx = e^x + C

4. Nguyên hàm của hàm số a^x

∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C

Ví dụ: ∫2^x dx = (2^x)/ln(2) + C

5. Nguyên hàm của hàm số sin(x)

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Ví dụ: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C

6. Nguyên hàm của hàm số cos(x)

∫cos(x) dx = sin(x) + C

Ví dụ: ∫cos(x) dx = sin(x) + C

III. Tính chất của nguyên hàm

1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
2. ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
3. ∫kf(x) dx = k∫f(x) dx (với k là hằng số)

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính ∫(3x² + 2x + 1) dx

Giải: ∫(3x² + 2x + 1) dx = ∫3x² dx + ∫2x dx + ∫1 dx = x³ + x² + x + C

Bài 2: Tính ∫(e^x + sin(x)) dx

Giải: ∫(e^x + sin(x)) dx = ∫e^x dx + ∫sin(x) dx = e^x - cos(x) + C

V. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp các em nắm vững khái niệm nguyên hàm, nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp và các tính chất của nguyên hàm. Việc hiểu rõ kiến thức này là nền tảng quan trọng để các em học tốt chương trình tích phân trong Toán 12.

Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán. Chúc các em học tập tốt!