Giải bài tập 6 trang 95, 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Giải bài tập 6 trang 95, 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài tập 6 trang 95, 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về Nguyên hàm tích phân. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về nguyên hàm để tính tích phân xác định, đặc biệt là các tích phân có dạng đơn giản và các tích phân cần sử dụng phương pháp đổi biến số.

Nội dung chính của bài tập 6

• Câu 1: Tính các tích phân sau:
  1. ∫₀¹ (2x + 1) dx
  2. ∫₀² (x² + 3x) dx
  3. ∫₁³ (x - 2)² dx
• Câu 2: Tính các tích phân sau:
  1. ∫₀^π/2 sin(x) dx
  2. ∫₀^π/4 cos(x) dx
  3. ∫₀¹ e^x dx
• Câu 3: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
  1. ∫₀¹ x(x² + 1)² dx
  2. ∫₁² (2x + 1)e^{x2 + x} dx

Phương pháp giải bài tập

Để giải quyết bài tập 6 một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Khái niệm nguyên hàm và tích phân: Hiểu rõ mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân, cũng như các tính chất cơ bản của chúng.
2. Công thức tính tích phân: Nắm vững các công thức tính tích phân của các hàm số cơ bản như đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
3. Phương pháp đổi biến số: Biết cách lựa chọn biến số phù hợp để đơn giản hóa tích phân và tính toán dễ dàng hơn.
4. Phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng phương pháp tích phân từng phần khi gặp các tích phân có dạng tích của hai hàm số.

Giải chi tiết bài tập 6

Câu 1:

a) ∫₀¹ (2x + 1) dx = [x² + x]₀¹ = (1² + 1) - (0² + 0) = 2

b) ∫₀² (x² + 3x) dx = [x³/3 + 3x²/2]₀² = (2³/3 + 3*2²/2) - (0) = 8/3 + 6 = 26/3

c) ∫₁³ (x - 2)² dx = ∫₁³ (x² - 4x + 4) dx = [x³/3 - 2x² + 4x]₁³ = (3³/3 - 2*3² + 4*3) - (1³/3 - 2*1² + 4*1) = (9 - 18 + 12) - (1/3 - 2 + 4) = 3 - 7/3 = 2/3

Câu 2:

a) ∫₀^π/2 sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π/2 = -cos(π/2) - (-cos(0)) = 0 + 1 = 1

b) ∫₀^π/4 cos(x) dx = [sin(x)]₀^π/4 = sin(π/4) - sin(0) = √2/2 - 0 = √2/2

c) ∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e¹ - e⁰ = e - 1

Câu 3:

a) Đặt u = x² + 1, du = 2x dx. Khi x = 0, u = 1; khi x = 1, u = 2. Vậy ∫₀¹ x(x² + 1)² dx = 1/2 ∫₁² u² du = 1/2 [u³/3]₁² = 1/2 (8/3 - 1/3) = 7/6

b) Đặt u = x² + x, du = (2x + 1) dx. Khi x = 1, u = 2; khi x = 2, u = 6. Vậy ∫₁² (2x + 1)e^{x2 + x} dx = ∫₂⁶ e^u du = [e^u]₂⁶ = e⁶ - e²

Lưu ý khi giải bài tập

Trong quá trình giải bài tập, các em cần chú ý:

• Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của tích phân.
• Sử dụng đúng công thức tính tích phân và phương pháp đổi biến số.
• Tính toán cẩn thận để tránh sai sót.
• Đối chiếu kết quả với đáp án để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 6 trang 95, 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!