Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes - Giải Toán 12 Cánh Diều Tập 2

Bài 2 trong chương 6 sách Toán 12 Cánh Diều tập 2 giới thiệu hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là những công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi thông tin về sự kiện đó được chia thành các trường hợp khác nhau.

I. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một sự kiện A khi biết rằng sự kiện đó có thể xảy ra thông qua một số các sự kiện xung khắc và đầy đủ khác nhau (B1, B2, ..., Bn). Công thức được biểu diễn như sau:

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của sự kiện A.
• P(A|Bi) là xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện Bi xảy ra.
• P(Bi) là xác suất của sự kiện Bi.
• Các sự kiện B1, B2, ..., Bn là xung khắc và đầy đủ.

II. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một sự kiện A khi biết một sự kiện B đã xảy ra. Công thức được biểu diễn như sau:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

Trong đó:

• P(A|B) là xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B xảy ra.
• P(B|A) là xác suất có điều kiện của sự kiện B khi biết sự kiện A xảy ra.
• P(A) là xác suất của sự kiện A.
• P(B) là xác suất của sự kiện B.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

Gọi A là sự kiện sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.

Gọi B1 là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.

Gọi B2 là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta có: P(B1) = 0.6, P(B2) = 0.4, P(A|B1) = 0.02, P(A|B2) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất hai quả bóng được lấy ra đều là màu đỏ.

Giải:

Gọi A là sự kiện hai quả bóng được lấy ra đều là màu đỏ.

Gọi B là sự kiện quả bóng thứ nhất được lấy ra là màu đỏ.

Áp dụng công thức Bayes:

P(A) = (C5,2) / (C8,2) = 10/28 = 5/14

IV. Bài tập luyện tập

1. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất hai quả bóng được lấy ra đều là màu đen.
2. Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất người đó bắn trúng ít nhất 2 phát.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!