Giải Bài Tập 4 Trang 86 Sgk Toán 12 Tập 2 - Cánh Diều

Giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em. Hãy cùng bắt đầu với bài tập 4 trang 86 nhé!

Cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 100\). a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Đề bài

Cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 100\).

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều 1

a) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tọa độ tâm, bán kính của mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

b) Sử dụng kiến thức về vị trí của điểm so với mặt cầu để tìm bán kính của mặt cầu: Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian. Khi đó:

+ Điểm M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi \(IM = R\).

+ Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi \(IM > R\).

+ Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi \(IM < R\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 2} \right)} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = {10^2}\)

Do đó, mặt cầu đã cho có tâm I(1; -2; 7) và bán kính \(R = 10\).

b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 7} \right)}^2}} = \sqrt {45} < R\) nên điểm A nằm trong mặt cầu đã cho.

\(IB = \sqrt {{{\left( {9 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 10 = R\) nên điểm B nằm trên mặt cầu đã cho.

\(IC = \sqrt {{{\left( {9 - 1} \right)}^2} + {{\left( {9 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {10 - 7} \right)}^2}} = \sqrt {194} > R\) nên điểm C nằm ngoài mặt cầu đã cho.

Bứt phá ngoạn mục tại Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán với chiến lược ôn luyện hiệu quả và toàn diện! Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều – nội dung trọng tâm thuộc chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng toán math. Bộ tài liệu toán trung học phổ thông được biên soạn kỹ lưỡng, bám sát chương trình Toán lớp 12 và cấu trúc đề thi thực tế, giúp học sinh chinh phục mọi dạng bài trọng điểm, nâng cao tư duy và tối ưu kỹ năng giải đề. Với phương pháp học tập trực quan, logic và có tính ứng dụng cao, học sinh không chỉ tự tin đạt điểm số ấn tượng mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho hành trình vào đại học. Đây chính là hành trang không thể thiếu dành cho bất kỳ sĩ tử nào đang hướng đến thành tích xuất sắc trong kỳ thi quyết định này.

Giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Tổng quan

Bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về Nguyên hàm của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về nguyên hàm để tính tích phân xác định, từ đó giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến diện tích hình phẳng và các ứng dụng khác.

Nội dung bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Bài tập 4 bao gồm các câu hỏi yêu cầu tính tích phân xác định của các hàm số khác nhau. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Khái niệm nguyên hàm: Hiểu rõ định nghĩa nguyên hàm và mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm.
Tính chất của tích phân xác định: Nắm vững các tính chất của tích phân xác định, như tính tuyến tính, tính chất đối xứng, và tính chất cộng.
Các phương pháp tính tích phân: Biết cách sử dụng các phương pháp tính tích phân cơ bản, như phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần, và phương pháp sử dụng công thức tích phân.

Lời giải chi tiết bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Câu a)

∫₀¹ (2x + 1) dx

Nguyên hàm của (2x + 1) là x² + x. Do đó:

∫₀¹ (2x + 1) dx = [x² + x]₀¹ = (1² + 1) - (0² + 0) = 2

Câu b)

∫₀^π/2 sin(x) dx

Nguyên hàm của sin(x) là -cos(x). Do đó:

∫₀^π/2 sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π/2 = -cos(π/2) - (-cos(0)) = 0 + 1 = 1

Câu c)

∫₁² (x² - 3x + 2) dx

Nguyên hàm của (x² - 3x + 2) là (x³/3) - (3x²/2) + 2x. Do đó:

∫₁² (x² - 3x + 2) dx = [(x³/3) - (3x²/2) + 2x]₁² = [(8/3) - (12/2) + 4] - [(1/3) - (3/2) + 2] = (8/3 - 6 + 4) - (1/3 - 3/2 + 2) = (8/3 - 2) - (1/3 + 1/2) = (2/3) - (5/6) = -1/6

Mở rộng và ứng dụng

Việc tính tích phân xác định có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

Tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức ∫_a^b |f(x)| dx.
Tính thể tích vật thể: Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay một vùng phẳng quanh một trục được tính bằng công thức ∫_a^b π[f(x)]² dx.
Tính độ dài đường cong: Độ dài đường cong y = f(x) trên đoạn [a, b] được tính bằng công thức ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx.

Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về tích phân xác định, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Tính ∫₀² (x³ + 1) dx
Tính ∫₁³ (2x - 1) dx
Tính ∫₀^π cos(x) dx

Kết luận

Bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân xác định. Hy vọng với lời giải chi tiết và những kiến thức bổ ích trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.