Giải bài tập 1 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Giải bài tập 1 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Tổng quan

Bài tập 1 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các chương trình học toán cao hơn. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn để tính toán và chứng minh.

Nội dung bài tập 1 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Bài tập 1 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:

• Tính giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước.
• Chứng minh sự tồn tại của giới hạn.
• Vận dụng các định lý về giới hạn để đơn giản hóa biểu thức.

Lời giải chi tiết bài tập 1 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Câu a: Tính \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}

Để tính giới hạn này, ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}

Vì x \neq 2, ta có thể rút gọn biểu thức:

\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4

Vậy, \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

Câu b: Tính \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}

Tương tự như câu a, ta phân tích tử số thành nhân tử:

\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}

Vì x \neq -1, ta có thể rút gọn biểu thức:

\lim_{x \to -1} (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

Vậy, \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1} = 3

Câu c: Tính \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử số:

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 1} - 1)(\sqrt{x + 1} + 1)}{x(\sqrt{x + 1} + 1)}

Rút gọn biểu thức:

\lim_{x \to 0} \frac{x + 1 - 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)}

Vì x \neq 0, ta có thể rút gọn biểu thức:

\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{0 + 1} + 1} = \frac{1}{2}

Vậy, \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{1}{2}

Mẹo giải bài tập về giới hạn

• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
• Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử số hoặc mẫu số để khử dạng vô định.
• Vận dụng các định lý về giới hạn để đơn giản hóa bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị x tiến tới điểm giới hạn vào biểu thức.

Kết luận

Bài tập 1 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập cơ bản, giúp học sinh làm quen với các khái niệm và phương pháp tính giới hạn. Việc nắm vững kiến thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.