Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 1 trong chương 5 của sách Toán 12 tập 2, Cánh diều, tập trung vào việc xây dựng và hiểu rõ phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là một kiến thức nền tảng quan trọng cho việc học tập các chủ đề tiếp theo liên quan đến hình học không gian.

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Nếu M₀(x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc mặt phẳng và n = (a, b, c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, thì phương trình của mặt phẳng có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

2. Các dạng phương trình mặt phẳng

Ngoài dạng tổng quát trên, phương trình mặt phẳng còn có thể được biểu diễn dưới các dạng khác:

• Dạng tổng quát:Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Dạng đoạn chắn:x/a + y/b + z/c = 1, trong đó a, b, c lần lượt là giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

3. Điều kiện để ba điểm xác định một mặt phẳng

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất. Để kiểm tra ba điểm này có xác định một mặt phẳng hay không, ta có thể sử dụng điều kiện sau:

Vectơ AB và AC không cùng phương.

4. Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước

Nếu mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và song song với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, thì phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

5. Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước

Nếu mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và vuông góc với đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (a, b, c), thì phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (4, -5, 6).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 4(x - 1) - 5(y - 2) + 6(z - 3) = 0, tương đương với 4x - 5y + 6z - 15 = 0.

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

Giải: Ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ AB và AC. Sau đó, sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến để tìm phương trình mặt phẳng.

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng, các em nên tự giải thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như toan9.edu.vn.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương trình mặt phẳng và có thể áp dụng kiến thức này vào giải các bài tập thực tế. Chúc các em học tập tốt!