Bài 4.41 trang 21 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Toan9.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.41 trang 21, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau: a) (y = {sin ^2}frac{x}{2}); b) (y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5).
Đề bài
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\);
b) \(y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Sử dụng công thức hạ bậc cho hàm \({\sin ^2}\frac{x}{2}\), áp dụng các công thức tìm nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác.
Ý b: áp dụng các công thức tìm nguyên hàm cơ bản của hàm mũ và hàm lũy thừa.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({\sin ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 - \cos x}}{2}\) suy ra \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} = \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + C\).
b) Ta có \(\int {\left( {{e^{2x}} - 2{x^5} + 5} \right)dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{{{x^6}}}{3} + 5x + C\).
Bài 4.41 trang 21 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0.
Các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số, quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Đạo hàm của các hàm số cơ bản: Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác.
Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán cụ thể là: Cho hàm số y = f(x). Tìm đạo hàm f'(x) và khảo sát hàm số.)
Để tính đạo hàm f'(x), chúng ta cần áp dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học. Ví dụ, nếu f(x) = x2 + 2x + 1, thì f'(x) = 2x + 2.
Các điểm cực trị của hàm số là các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại. Để tìm các điểm cực trị, chúng ta giải phương trình f'(x) = 0.
Sau khi tìm được các điểm cực trị, chúng ta có thể khảo sát hàm số bằng cách xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số. Dựa vào dấu của đạo hàm, chúng ta có thể xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Ví dụ minh họa:
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm f'(x) và khảo sát hàm số.
Giải:
Tính đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Khảo sát hàm số:
| Khoảng | f'(x) | Hàm số |
|---|---|---|
| (-∞, 0) | > 0 | Đồng biến |
| (0, 2) | < 0 | Nghịch biến |
| (2, +∞) | > 0 | Đồng biến |
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Lưu ý:
Khi giải bài toán về đạo hàm, cần nắm vững các định nghĩa, quy tắc tính đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm.
Cần kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
Nên vẽ đồ thị hàm số để minh họa kết quả khảo sát hàm số.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài 4.41 trang 21 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
Bài tập tương tự có thể giúp các em củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác để nâng cao kỹ năng giải toán.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
