Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 19 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc hiểu và vận dụng thành thạo hai công thức này là rất cần thiết để giải quyết các bài toán xác suất thực tế, đặc biệt là trong các lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu và kỹ thuật.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ nhau. Giả sử A là một biến cố và B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ nhau và tổng của chúng là không gian mẫu Ω (B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.024

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta cập nhật xác suất của một giả thuyết khi có thêm bằng chứng. Công thức được phát biểu như sau:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó:

• P(B_i|A) là xác suất của biến cố B_i khi biết biến cố A đã xảy ra (xác suất hậu nghiệm).
• P(A|B_i) là xác suất của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra (khả năng).
• P(B_i) là xác suất tiên nghiệm của biến cố B_i.
• P(A) là xác suất của biến cố A (có thể tính bằng công thức xác suất toàn phần).

Ví dụ: Sử dụng dữ liệu từ ví dụ trên, nếu một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi, tính xác suất sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền 2.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta đã tính được P(A) = 0.024. Ta có P(A|B₂) = 0.03 và P(B₂) = 0.4. Áp dụng công thức Bayes:

P(B₂|A) = [P(A|B₂)P(B₂)] / P(A) = (0.03 * 0.4) / 0.024 = 0.5

Vậy, xác suất sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 2 là 50%.

3. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức:

• Bài 19.1
• Bài 19.2
• Bài 19.3

4. Kết luận

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán xác suất phức tạp. Việc nắm vững hai công thức này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất và ứng dụng nó vào thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các kỹ năng này!