Bài 16. Công thức tích góc trong không gian

Bài 16: Công thức tích góc trong không gian - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 16 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Đây là một kiến thức nền tảng quan trọng, giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập hình học không gian phức tạp.

1. Lý thuyết cơ bản về góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Để hiểu rõ về công thức tích góc, trước tiên chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản:

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một vectơ song song với đường thẳng đó.
• Góc giữa hai đường thẳng: Là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
• Công thức tính góc: Nếu hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là a và b, thì góc θ giữa hai đường thẳng được tính bởi:

  cos θ = |a ⋅ b| / (||a|| ⋅ ||b||)

2. Các bước áp dụng công thức tích góc

Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng.
2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương.
3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương.
4. Áp dụng công thức tính cos θ.
5. Tìm góc θ.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:

d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t

d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s

Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Giải:

• Vectơ chỉ phương của d1 là a = (1, -1, 2).
• Vectơ chỉ phương của d2 là b = (-1, 1, -1).
• Tích vô hướng a ⋅ b = (1)(-1) + (-1)(1) + (2)(-1) = -4.
• ||a|| = √(1² + (-1)² + 2²) = √6.
• ||b|| = √((-1)² + 1² + (-1)²) = √3.
• cos θ = |-4| / (√6 ⋅ √3) = 4 / (3√2) = 2√2 / 3.
• θ ≈ 19.47°.

4. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:

d1: x = t, y = 1 + t, z = 2 - t

d2: x = 1 - s, y = s, z = 3 + s

Tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

5. Lưu ý quan trọng

Khi tính góc giữa hai đường thẳng, cần chú ý:

• Góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng [0°, 90°].
• Nếu cos θ = 0, thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.
• Nếu cos θ = 1, thì hai đường thẳng song song với nhau.

6. Mở rộng kiến thức

Công thức tích góc trong không gian có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến hình học không gian, đặc biệt là các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, và các bài toán về vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về công thức tích góc trong không gian. Chúc các em học tập tốt!