Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Giải pháp chi tiết

Bài 5 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán có tính ứng dụng cao trong thực tiễn. Đây là một phần quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa toán học và đời sống.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:

• Đạo hàm và ứng dụng: Đạo hàm được sử dụng để tìm cực trị của hàm số, khảo sát sự biến thiên của hàm số và giải các bài toán tối ưu.
• Bài toán tối ưu: Các bài toán tối ưu thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng xác định.
• Ứng dụng trong kinh tế: Đạo hàm được sử dụng để tính chi phí biên, doanh thu biên và lợi nhuận biên.
• Ứng dụng trong vật lý: Đạo hàm được sử dụng để tính vận tốc, gia tốc và các đại lượng liên quan đến chuyển động.

II. Giải bài tập SBT Toán 12 Kết nối tri thức Bài 5

Dưới đây là phần giải chi tiết các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Bài 5:

Bài 5.1

Đề bài: Một công ty sản xuất x sản phẩm với chi phí sản xuất là C(x) = 2x² + 3x + 5 (triệu đồng). Tìm số sản phẩm x để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Giải:

Để tìm số sản phẩm x để chi phí sản xuất là thấp nhất, ta cần tìm cực tiểu của hàm số C(x). Ta có:

C'(x) = 4x + 3

Giải phương trình C'(x) = 0, ta được x = -3/4. Tuy nhiên, số sản phẩm x phải là một số không âm. Do đó, ta xét các giá trị x gần -3/4. Ta thấy rằng C'(x) < 0 khi x < -3/4 và C'(x) > 0 khi x > -3/4. Vậy, hàm số C(x) đạt cực tiểu tại x = -3/4. Tuy nhiên, vì x phải là số không âm, ta xét x = 0. Khi x = 0, C(0) = 5. Khi x = 1, C(1) = 2 + 3 + 5 = 10. Vậy, chi phí sản xuất là thấp nhất khi x = 0.

Bài 5.2

Đề bài: Một người nông dân có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài là x mét và chiều rộng là y mét. Người nông dân muốn xây một hàng rào xung quanh mảnh đất. Chi phí xây hàng rào là 100.000 đồng/mét. Tìm kích thước của mảnh đất để diện tích mảnh đất là lớn nhất với chi phí xây hàng rào là 4.000.000 đồng.

Giải:

Chu vi của mảnh đất là 2(x + y). Chi phí xây hàng rào là 100.000 * 2(x + y) = 4.000.000. Suy ra x + y = 20. Vậy y = 20 - x.

Diện tích của mảnh đất là S(x) = x * y = x * (20 - x) = 20x - x².

Để tìm kích thước của mảnh đất để diện tích là lớn nhất, ta cần tìm cực đại của hàm số S(x). Ta có:

S'(x) = 20 - 2x

Giải phương trình S'(x) = 0, ta được x = 10. Khi x = 10, y = 20 - 10 = 10. Vậy, mảnh đất có kích thước là 10 mét x 10 mét để diện tích là lớn nhất.

III. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

• Bài 5.3, 5.4, 5.5 trong SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Các bài tập tương tự trên các trang web học toán online khác

IV. Kết luận

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong bài học này sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng toán học vào thực tế.