Bài 11. Nguyên hàm

Bài 11. Nguyên hàm - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và bài tập giải

1. Định nghĩa Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng I là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ: ∫2x dx = x² + C

2. Tính chất của Nguyên hàm

• Tính chất 1: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
• Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)
• Tính chất 3: ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx (tích phân từng phần)

3. Các công thức Nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là một số công thức nguyên hàm cơ bản cần nắm vững:

4. Phương pháp tìm Nguyên hàm

a. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phức tạp. Ta đặt u = g(x), suy ra du = g'(x)dx, và biến đổi tích phân về dạng đơn giản hơn.

b. Phương pháp tích phân từng phần

Sử dụng công thức ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx. Chọn f(x) và g'(x) một cách hợp lý để đơn giản hóa tích phân.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính ∫(x² + 3x - 1)dx

Giải: ∫(x² + 3x - 1)dx = ∫x²dx + 3∫xdx - ∫dx = (x³/3) + (3x²/2) - x + C

Bài 2: Tính ∫xsin(x)dx (sử dụng tích phân từng phần)

Giải: Đặt u = x, dv = sin(x)dx. Suy ra du = dx, v = -cos(x). Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫xsin(x)dx = -xcos(x) - ∫(-cos(x))dx = -xcos(x) + ∫cos(x)dx = -xcos(x) + sin(x) + C

Bài 3: Tính ∫(1/(x+1))dx

Giải: Đặt u = x+1, du = dx. Suy ra ∫(1/(x+1))dx = ∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|x+1| + C

6. Lưu ý quan trọng

Luôn nhớ thêm hằng số tích phân C sau mỗi phép tính nguyên hàm. Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm để đảm bảo nó bằng hàm số ban đầu.

Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các công thức nguyên hàm cơ bản là nền tảng để giải quyết các bài toán tích phân phức tạp hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và kỹ năng của bạn.