Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1.19 trang 16 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, cập nhật và phù hợp với chương trình học hiện hành. Hãy cùng toan9.edu.vn khám phá lời giải chi tiết bài tập này nhé!
Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên (theta left( {{{45}^ circ } < theta < {{90}^ circ }} right)) so với phương ngang với vận tốc ban đầu là ({v_0}) (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc ({45^ circ }) so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường R (tính bằng feet, 1 feet=0,3048 m) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số (Rleft( theta right) = frac{{v_0^2sqrt 2 }}{{16}}cos theta left( {si
Đề bài
Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên \(\theta \left( {{{45}^ \circ } < \theta < {{90}^ \circ }} \right)\) so với phương ngang với vận tốc ban đầu là \({v_0}\) (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc \({45^ \circ }\) so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường R (tính bằng feet, 1 feet=0,3048 m) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số
\(R\left( \theta \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta - \cos \theta } \right)\)
Góc ném \(\theta \) nào làm cho quãng đường R lớn nhất? Giá trị lớn nhất của R là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét hàm số \(R\left( \theta \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta - \cos \theta } \right)\). Yêu cầu bài toán tương đương tìm giá trị lớn nhất của hàm. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số và đưa ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Xét hàm số \(R\left( \theta \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta - \cos \theta } \right)\). Ta cần tìm \(\theta \) để hàm số đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(R\left( \theta \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos \theta \sin \theta - {{\cos }^2}\theta } \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {2\cos \theta \sin \theta - 2{{\cos }^2}\theta } \right)\)
\( = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {\sin 2\theta - \cos 2\theta - 1} \right)\), \(\left( {{{45}^ \circ } < \theta < {{90}^ \circ }} \right)\). Do đó \(R' = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos 2\theta + \sin 2\theta } \right)\).
Khi đó \(R' = 0 \Leftrightarrow \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos 2\theta + \sin 2\theta } \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2\theta + \sin 2\theta = 0 \Leftrightarrow 2\theta = {135^ \circ } \Leftrightarrow \theta = {67,5^ \circ }\)
(do \({45^ \circ } < \theta < {90^ \circ }\)). Mặt khác \(R\left( {{{45}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {45^ \circ }\left( {\sin {{45}^ \circ } - \cos {{45}^ \circ }} \right) = 0\); \(R\left( {{{67,5}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {67,5^ \circ }\left( {\sin {{67,5}^ \circ } - \cos {{67,5}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\); \(R\left( {{{90}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {90^ \circ }\left( {\sin {{90}^ \circ } - \cos {{90}^ \circ }} \right) = 0\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(67,5\): \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {45;90} \right]} R = R\left( {67,5} \right) = \frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}.\)
Vậy khi góc ném \(\theta = {67,5^ \circ }\) thì quãng đường R là lớn nhất và bằng \(\frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\) feet.
Bài 1.19 trang 16 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài tập 1.19 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:
Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm đa thức:
f'(x) = d/dx (x3 - 3x2 + 2) = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):
f''(x) = d/dx (3x2 - 6x) = 6x - 6
Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.
Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:
f(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2
f(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2
Vậy, hàm số có điểm cực đại là (0, 2) và điểm cực tiểu là (2, -2).
Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x), ta có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
f'(x) > 0 khi 3x2 - 6x > 0, tức là x < 0 hoặc x > 2. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
f'(x) < 0 khi 3x2 - 6x < 0, tức là 0 < x < 2. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0, 2), điểm cực tiểu (2, -2), đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Bài 1.19 trang 16 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Để luyện tập thêm, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức hoặc trên các trang web học toán online khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
