Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan và Phương pháp

Bài 1 trong SBT Toán 12 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, một phần quan trọng trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Việc hiểu rõ các khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

I. Khái niệm cơ bản

1. Tính đơn điệu của hàm số:

• Hàm số đồng biến trên một khoảng: Nếu với mọi x₁, x₂ thuộc khoảng đó, x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂).
• Hàm số nghịch biến trên một khoảng: Nếu với mọi x₁, x₂ thuộc khoảng đó, x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).

2. Cực trị của hàm số:

• Điểm cực đại: x₀ là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b).
• Điểm cực tiểu: x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b).

II. Điều kiện để hàm số đơn điệu và có cực trị

1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị tại x₀:

Hàm số f(x) có cực trị tại x₀ khi và chỉ khi:

• f'(x₀) = 0
• f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀.

2. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).

III. Phương pháp giải bài tập

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2: Tìm các điểm làm đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Lập bảng xét dấu f'(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

IV. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.

Bước 2: Tìm điểm làm đạo hàm bằng 0: 3x² - 6x = 0 ⇔ x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Bước 3: Lập bảng xét dấu f'(x):

Bước 4: Kết luận:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
• Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
• Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn nên tự giải các bài tập trong SBT Toán 12 - Kết nối tri thức. Chú trọng vào việc phân tích kỹ đề bài, vận dụng linh hoạt các công thức và định lý đã học. Đừng ngần ngại tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn.

Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!