Giải Bài 4.25 Trang 17 Sách Bài Tập Toán 12 - Kết Nối Tri Thức

Giải bài 4.25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 4.25 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 4.25 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Toan9.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4.25 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường (y = sqrt x ,y = frac{{{x^2}}}{8},x = 0,x = 4). a) Tính diện tích hình phẳng; b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox.

Đề bài

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = \frac{{{x^2}}}{8},x = 0,x = 4\).

a) Tính diện tích hình phẳng;

b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 4.25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức 1

Ý a: Xác định xem hàm số nào có đồ thị nằm phía trên với \(x \in \left[ {0;4} \right]\). Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích.

Ý b: Tính lần lượt thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0,x = 0,x = 4\)quanh trục Ox và thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{8},y = 0,x = 0,x = 4\) quanh trục Ox. Lấy hiệu hai thể tích vừa tính ta tìm được thể thể tích theo yêu cầu, tuy nhiên ta cần xác định xem lấy thể tích nào trừ thể tích còn lại phụ thuộc vào các đồ thị.

Lời giải chi tiết

a) Ta có hình biểu diễn diện tích hình phẳng cần tìm như sau:

Giải bài 4.25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức 2

Ta thấy đồ thị \(y = \sqrt x \) nằm phía trên \(y = \frac{{{x^2}}}{8}\).

Diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{2}{3}x\sqrt x - \frac{{{x^3}}}{{24}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{8}{3}\).

b) Thể tích khi xoay các đường \(y = \sqrt x ,y = 0,x = 0,x = 4\) quanh trục Ox là

\({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi \).

Thể tích khi xoay các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{8},y = 0,x = 0,x = 4\) quanh trục Ox là

\({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{8}} \right)}^2}dx} = \pi \left. {\frac{{{x^5}}}{{320}}} \right|_0^4 = \frac{{16}}{5}\pi \).

Thể tích cần tìm là \(V = {V_1} - {V_2} = 8\pi - \frac{{16}}{5}\pi = \frac{{24}}{5}\pi \).

Bứt phá ngoạn mục tại Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán với chiến lược ôn luyện hiệu quả và toàn diện! Đừng bỏ lỡ Giải bài 4.25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức – nội dung trọng tâm thuộc chuyên mục đề thi toán 12 trên nền tảng đề thi toán. Bộ tài liệu toán trung học phổ thông được biên soạn kỹ lưỡng, bám sát chương trình Toán lớp 12 và cấu trúc đề thi thực tế, giúp học sinh chinh phục mọi dạng bài trọng điểm, nâng cao tư duy và tối ưu kỹ năng giải đề. Với phương pháp học tập trực quan, logic và có tính ứng dụng cao, học sinh không chỉ tự tin đạt điểm số ấn tượng mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho hành trình vào đại học. Đây chính là hành trang không thể thiếu dành cho bất kỳ sĩ tử nào đang hướng đến thành tích xuất sắc trong kỳ thi quyết định này.

Giải bài 4.25 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 4.25 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

Định nghĩa đạo hàm
Các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp)
Đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit)

Dưới đây là đề bài và lời giải chi tiết bài 4.25 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức:

Đề bài:

Cho hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải:

Để tìm các điểm cực trị của hàm số f(x), ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x)
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng
Xét dấu đạo hàm f'(x) để xác định các điểm cực trị

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Suy ra x = 0 hoặc x = 2

Vậy, hàm số có hai điểm dừng là x = 0 và x = 2.

Bước 3: Xét dấu đạo hàm f'(x)

Ta xét các khoảng sau:

Khoảng (-∞; 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
Khoảng (0; 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Khoảng (2; +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Từ việc xét dấu đạo hàm, ta thấy:

Tại x = 0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2.
Tại x = 2, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

Kết luận:

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.

Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

Ngoài ra, học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.

Toan9.edu.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết bài 4.25 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức này sẽ giúp các em học sinh học tập tốt hơn.