Bài 1.16 trang 15 SBT Toán 12 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Toan9.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1.16, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Lợi nhuận thu được (P) của một công ty khi dùng số tiền (s) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức (P = Pleft( s right) = - frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{rm{ s}} ge 0). Ở đây các số tiền được được tính bằng đơn vị nghìn USD. a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa. b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?
Đề bài
Lợi nhuận thu được \(P\) của một công ty khi dùng số tiền \(s\) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức
\(P = P\left( s \right) = - \frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{\rm{ s}} \ge 0\).
Ở đây các số tiền được được tính bằng đơn vị nghìn USD.
a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa.
b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm \({\rm{s}}\) để hàm \(P\left( s \right) = - \frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{\rm{ s}} \ge 0\) đạt giá trị lớn nhất. Sử dụng cách lập bảng biến thiên để xác định giá trị lớn nhất \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} P\left( s \right)\).
Ý b: Từ bảng biến thiên ý a biết được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, từ đó đưa ra các nhận xét về sự thay đổi (tăng/giảm) của số tiền chi cho quảng cáo \(s\) ảnh hưởng như thế nào đến lợi nhuận \(P\left( s \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(P\left( s \right) = - \frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{\rm{ s}} \ge 0\), ta cần tìm \(s \ge 0\) để \(P\left( s \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: \(P'\left( s \right) = - \frac{3}{{10}}{s^2} + 12s\). Khi đó \(P' = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{{10}}{s^2} + 12s = 0 \Leftrightarrow s = 0\) hoặc \(s = 40\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} P\left( s \right) = P\left( {40} \right) = 3600\). Vậy để mang lại lợi nhuận tối đa, số tiền công ty phải chi trả cho quảng cáo là \(40\) nghìn USD.
b) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(P\left( s \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;40} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {40; + \infty } \right)\), do đó:
+ Lợi nhuận công ty tăng dần khi số tiền chi cho quảng cáo tăng từ \(0\) đến \(40\) nghìn USD.
+ Lợi nhuận công ty giảm dần khi số tiền chi cho quảng cáo lớn hơn \(40\) nghìn USD và khi đó càng tăng tiền quảng cáo thì lợi nhuận càng giảm.
Bài 1.16 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán là về việc tối ưu hóa chi phí sản xuất)
Một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là C(x) = 0.01x2 + 20x + 5000, trong đó x là số lượng sản phẩm được sản xuất. Hãy tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để chi phí sản xuất là thấp nhất.
Lời giải:
C'(x) = 0.02x + 20
C'(x) = 0 ⇔ 0.02x + 20 = 0 ⇔ x = -1000
C''(x) = 0.02 > 0. Vì vậy, hàm chi phí C(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1000.
Tuy nhiên, số lượng sản phẩm không thể âm. Do đó, cần xem xét các giá trị x gần -1000. Trong thực tế, số lượng sản phẩm phải là một số nguyên dương. Vì vậy, ta cần xem xét các giá trị x = 0, 1, 2,... để tìm giá trị x làm cho chi phí C(x) nhỏ nhất.
Trong trường hợp này, vì C''(x) > 0, hàm chi phí C(x) là hàm lồi. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí sẽ đạt được tại một trong các điểm biên của tập xác định. Nếu tập xác định là [0, ∞), thì giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí sẽ đạt được tại x = 0.
Lưu ý:
Bài toán này là một ví dụ minh họa về ứng dụng của đạo hàm trong thực tế. Trong thực tế, các bài toán tối ưu hóa thường phức tạp hơn và đòi hỏi học sinh phải có kiến thức sâu rộng hơn về đạo hàm và các phương pháp tối ưu hóa.
Để hiểu rõ hơn về bài toán này, học sinh nên xem lại các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong sách giáo khoa và sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức.
Ngoài ra, học sinh có thể tham khảo các tài liệu học tập trực tuyến và các video hướng dẫn giải bài tập Toán 12 trên các trang web như Toan9.edu.vn.
Các bài tập tương tự:
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài 1.16 trang 15 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức và tự tin làm bài tập.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Đạo hàm | Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm. |
| Cực trị | Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nào đó. |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
