Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

I. Giới thiệu chung về phương sai và độ lệch chuẩn

Trong thống kê, phương sai và độ lệch chuẩn là hai đại lượng quan trọng dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Chúng cho biết các giá trị trong tập dữ liệu đó trải rộng ra xung quanh giá trị trung bình như thế nào.

1. Phương sai (Variance)

Phương sai, ký hiệu là σ² (cho tổng thể) hoặc s² (cho mẫu), được tính bằng trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình.

Công thức tính phương sai:

• Tổng thể: σ² = Σ(x_i - μ)² / N
• Mẫu: s² = Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là giá trị thứ i trong tập dữ liệu
• μ là giá trị trung bình của tổng thể
• x̄ là giá trị trung bình của mẫu
• N là số lượng phần tử trong tổng thể
• n là số lượng phần tử trong mẫu

2. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn, ký hiệu là σ (cho tổng thể) hoặc s (cho mẫu), là căn bậc hai của phương sai.

Công thức tính độ lệch chuẩn:

• Tổng thể: σ = √σ²
• Mẫu: s = √s²

Độ lệch chuẩn có đơn vị giống với dữ liệu gốc, do đó dễ dàng diễn giải hơn so với phương sai.

II. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Khi dữ liệu được trình bày dưới dạng bảng tần số (mẫu số liệu ghép nhóm), công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn sẽ khác một chút.

1. Công thức tính

Giả sử có bảng tần số với các giá trị x_i và tần số f_i.

Công thức tính phương sai:

s² = [Σ(x_i - x̄)² * f_i] / (n - 1)

Công thức tính độ lệch chuẩn:

s = √s²

Trong đó:

• x_i là giá trị đại diện của nhóm thứ i
• f_i là tần số của nhóm thứ i
• x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, được tính bằng: x̄ = Σ(x_i * f_i) / n
• n là tổng số lượng phần tử trong mẫu (n = Σf_i)

2. Ví dụ minh họa

Xét bảng tần số sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này.

1. Tính giá trị trung bình: x̄ = (10*5 + 12*8 + 14*7) / (5+8+7) = 12.4
2. Tính các bình phương độ lệch: (10-12.4)² = 5.76, (12-12.4)² = 0.16, (14-12.4)² = 2.56
3. Tính phương sai: s² = (5.76*5 + 0.16*8 + 2.56*7) / (20-1) = 2.48
4. Tính độ lệch chuẩn: s = √2.48 ≈ 1.57

III. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn cung cấp thông tin quan trọng về sự biến thiên của dữ liệu:

• Phương sai lớn: Dữ liệu phân tán rộng, các giá trị khác xa nhau.
• Phương sai nhỏ: Dữ liệu tập trung gần giá trị trung bình, các giá trị ít khác nhau.
• Độ lệch chuẩn lớn: Tương tự như phương sai lớn.
• Độ lệch chuẩn nhỏ: Tương tự như phương sai nhỏ.

Trong thực tế, phương sai và độ lệch chuẩn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như tài chính, khoa học, kỹ thuật và y học để đánh giá rủi ro, kiểm soát chất lượng và phân tích dữ liệu.

IV. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy giải các bài tập sau trong SBT Toán 12 - Kết nối tri thức:

• Bài 10.1
• Bài 10.2
• Bài 10.3

Chúc bạn học tốt!