Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian, thuộc chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về chủ đề này.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về hệ tọa độ trong không gian, tọa độ của vectơ, các phép toán vectơ trong không gian và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán hình học.
Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
2. Tọa độ của điểm và vecto
a) Tọa độ của điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
b) Tọa độ của vecto
| Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \(\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \) thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} .\)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x - 3; y - 2; z - 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} .\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4.
Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).
Trong chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo, phần Hình học không gian đóng vai trò quan trọng, và việc nắm vững lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết này, kèm theo các ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ hơn.
Hệ tọa độ trong không gian Oxyz là một hệ tọa độ ba chiều, được xác định bởi ba trục vuông góc nhau Ox, Oy, Oz. Mỗi điểm trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.
Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Tọa độ của vectơ a = AB, với A(xA, yA, zA) và B(xB, yB, zB), được tính như sau:
a = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính như sau:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.
Tích có hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính như sau:
[a, b] = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2)
Ứng dụng của tích có hướng: Tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ, tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Bài 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) = (3; 3; 3)
Bài 2: Cho a = (1; -2; 3) và b = (2; 1; -1). Tính a ⋅ b.
Giải:a ⋅ b = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3
Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian là một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Việc nắm vững các khái niệm và công thức liên quan sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
