Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 59,60 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\).
a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) theo ba vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \)
b) Tính các tích vô hướng \({\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}\), \(\overrightarrow i .\overrightarrow j \), \(\overrightarrow j .\overrightarrow k \), \(\overrightarrow k .\overrightarrow i \)
c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k \)
b) \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow j .\overrightarrow k = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow k = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = ({a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k ) . ({b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k )\)
\( = {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_1}{b_3}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_2}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_2}{b_2}{\overrightarrow j ^2} + {a_2}{b_3}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_3}{b_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_3}{\overrightarrow k ^2}\)
\( = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho ba vectơ \(\overrightarrow m = ( - 5;4;9)\), \(\overrightarrow n = (2; - 7;0)\), \(\overrightarrow p = (6;3; - 4)\).
a) Tính \(\overrightarrow m .\overrightarrow n \), \(\overrightarrow m .\overrightarrow p \)
b) Tính \(|\overrightarrow m |\), \(|\overrightarrow n |\), \(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )\)
c) Cho \(\overrightarrow q = (1; - 2;0)\). Vectơ \(\overrightarrow q \) có vuông góc với \(\overrightarrow p \) không?
Phương pháp giải:
a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)
b) Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)
c) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow m .\overrightarrow n = - 5.2 + 4.( - 7) = - 38\)
\(\overrightarrow m .\overrightarrow p = ( - 5).6 + 4.3 + 9.( - 4) = - 54\)
b) \(|\overrightarrow m | = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {4^2} + {9^2}} = \sqrt {122} \)
\(|\overrightarrow n | = \sqrt {{2^2} + {{( - 7)}^2}} = \sqrt {53} \)
\(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n ) = \frac{{\overrightarrow m .\overrightarrow n }}{{|\overrightarrow m |.|\overrightarrow n |}} = \frac{{ - 38}}{{\sqrt {122} .\sqrt {53} }} = - \frac{{19\sqrt {6466} }}{{3233}}\)
c) \(\overrightarrow q .\overrightarrow p = 1.6 + 3.(-2) - 4.0 = 0\) nên \(\overrightarrow q \) vuông góc với \(\overrightarrow p \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow f = (5;4; - 2)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow a = (70;20; - 40)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính công \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \)
Lời giải chi tiết:
Công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \) là: \(A = \overrightarrow f .\overrightarrow a = 5.70 + 4.20 - 2.( - 40) = 510J\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\).
a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) theo ba vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \)
b) Tính các tích vô hướng \({\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}\), \(\overrightarrow i .\overrightarrow j \), \(\overrightarrow j .\overrightarrow k \), \(\overrightarrow k .\overrightarrow i \)
c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k \)
b) \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow j .\overrightarrow k = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow k = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = ({a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k ) . ({b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k )\)
\( = {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_1}{b_3}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_2}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_2}{b_2}{\overrightarrow j ^2} + {a_2}{b_3}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_3}{b_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_3}{\overrightarrow k ^2}\)
\( = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho ba vectơ \(\overrightarrow m = ( - 5;4;9)\), \(\overrightarrow n = (2; - 7;0)\), \(\overrightarrow p = (6;3; - 4)\).
a) Tính \(\overrightarrow m .\overrightarrow n \), \(\overrightarrow m .\overrightarrow p \)
b) Tính \(|\overrightarrow m |\), \(|\overrightarrow n |\), \(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )\)
c) Cho \(\overrightarrow q = (1; - 2;0)\). Vectơ \(\overrightarrow q \) có vuông góc với \(\overrightarrow p \) không?
Phương pháp giải:
a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)
b) Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)
c) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow m .\overrightarrow n = - 5.2 + 4.( - 7) = - 38\)
\(\overrightarrow m .\overrightarrow p = ( - 5).6 + 4.3 + 9.( - 4) = - 54\)
b) \(|\overrightarrow m | = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {4^2} + {9^2}} = \sqrt {122} \)
\(|\overrightarrow n | = \sqrt {{2^2} + {{( - 7)}^2}} = \sqrt {53} \)
\(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n ) = \frac{{\overrightarrow m .\overrightarrow n }}{{|\overrightarrow m |.|\overrightarrow n |}} = \frac{{ - 38}}{{\sqrt {122} .\sqrt {53} }} = - \frac{{19\sqrt {6466} }}{{3233}}\)
c) \(\overrightarrow q .\overrightarrow p = 1.6 + 3.(-2) - 4.0 = 0\) nên \(\overrightarrow q \) vuông góc với \(\overrightarrow p \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow f = (5;4; - 2)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow a = (70;20; - 40)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính công \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \)
Lời giải chi tiết:
Công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \) là: \(A = \overrightarrow f .\overrightarrow a = 5.70 + 4.20 - 2.( - 40) = 510J\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, giúp học sinh hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn là bước đệm quan trọng để học sinh tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
a) lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x - 2)(x + 2). Khi đó:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4
b) lim (x→0) sin(x) / x
Lời giải: Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Sử dụng định lý giới hạn đặc biệt, ta có:
lim (x→0) sin(x) / x = 1
Lời giải: Tương tự như bài 1, ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1). Khi đó:
lim (x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x + 1) = 2
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x, ta có:
lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3) = lim (x→∞) (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = 2 / 1 = 2
Để giải các bài tập về giới hạn một cách hiệu quả, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Khi giải bài tập về giới hạn, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 2 trang 59,60 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
