Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 4 trang 38, 39, 40 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
Bài giải này được xây dựng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\). a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên. b) Cho điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\). Hãy cho biết các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có đi qua \(M\) không. c) Giải thích tại sao \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\).
a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên.
b) Cho điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\). Hãy cho biết các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có đi qua \(M\) không.
c) Giải thích tại sao \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Phương pháp giải:
a) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\), rồi nhận xét.
b) Thay toạ độ điểm \(M\) lần lượt vào phương trình các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) rồi nhận xét.
c) Từ các kết quả ở câu a và b rồi giải thích.
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {2; - 4;6} \right)\).
Do \(\frac{1}{2} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} = \frac{3}{6}\), nên \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) cùng phương.
b) Thay toạ độ của điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta có:
\( - 1 - 2.0 + 3.0 + 1 = 0\)
Như vậy mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).
Thay toạ độ của điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) ta có:
\(2\left( { - 1} \right) - 4.0 + 6.0 + 1 = - 1 \ne 0\)
Như vậy mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) không đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).
c) Theo câu a, do \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) cùng phương, nên giá của \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, do \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) có giá vuông góc với \(\left( \beta \right)\), ta suy ra hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song hoặc trùng nhau. Hơn nữa, theo câu b, điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\) nhưng không thuộc \(\left( \beta \right)\), suy ra \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 39 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Mặt phẳng \(\left( E \right):2x - y + 8z + 1 = 0\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
a) \(\left( F \right):8x - 4y + 32z + 7 = 0\)
b) \(\left( H \right):6x - 3y + 24z + 3 = 0\)
c) \(\left( G \right):10x - 5y + 41z + 1 = 0\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( E \right)\), \(\left( F \right)\), \(\left( H \right)\), \(\left( G \right)\), rồi chỉ ra mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( E \right)\).
Lời giải chi tiết:
Các mặt phẳng \(\left( E \right)\), \(\left( F \right)\), \(\left( H \right)\), \(\left( G \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} = \left( {2; - 1;8} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = \left( {8; - 4;32} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = \left( {6; - 3;24} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} = \left( {10; - 5;41} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = 4\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \), nhưng \(7 \ne 4.1\). Vậy \(\left( E \right)\parallel \left( F \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = 3\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \) và \(3 = 3.1\). Vậy \(\left( E \right) \equiv \left( H \right)\).
Ta có \(\frac{2}{{10}} = \frac{{ - 1}}{{ - 5}} \ne \frac{8}{{41}}\), suy ra \(\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} \) không cùng phương. Vậy \(\left( E \right)\) cắt \(\left( G \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 40 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau:
\(\left( F \right):3x + 2y + 5z + 3 = 0\)
\(\left( H \right):x - 4y + z + 23 = 0\)
\(\left( G \right):x - y + 3z + 24 = 0\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ pháp tuyến lần lượt của các mặt phẳng, sau đó tính tích vô hướng để chọn ra các cặp vectơ có tích vô hướng bằng 0.
Lời giải chi tiết:
Các mặt phẳng \(\left( F \right)\), \(\left( H \right)\), \(\left( G \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = \left( {3;2;5} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = \left( {1; - 4;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} = \left( {1; - 1;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = 3.1 + 2.\left( { - 4} \right) + 5.1 = 0\). Vậy \(\left( F \right) \bot \left( H \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 40 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):3x + 2y + z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):5x - 10y + 5z + 9 = 0\).
a) Chỉ ra hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \), \(\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) và nêu nhận xét về hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Phương pháp giải:
a) Chỉ ra các vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) dựa vào phương trình các mặt phẳng.
b) Sử dụng công thức tích vô hướng, tính tích \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) và rút ra kết luận về hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 10;5} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.5 + 2.\left( { - 10} \right) + 1.5 = 0\). Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với nhau. Do \(\overrightarrow {{n_1}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với \(\left( \beta \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) vuông góc với nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 40 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m, cách bạn nữ 5 m. Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của \(\left( P \right)\) trong không gian \(Oxyz\) được mô tả trong hình vẽ.
Phương pháp giải:
Do \(\left( P \right) \bot \left( {Oxy} \right)\), mà vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( {Oxy} \right)\) có giá vuông góc với \(\left( {Oxy} \right)\), nên giá của \(\vec n\) song song hoặc nằm trên \(\left( P \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).
Mặt khác, theo hình vẽ, gọi \(A\) là điểm rơi của quả bóng trên mặt đất. Dễ dàng thấy được \({z_A} = 0\) và \({x_A} = 3\). Trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), sử dụng định lý Pythagore để xác định \({y_A}\) . Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(O\) và \(A\) nên \(\overrightarrow {OA} \) là một vectơ chỉ phương khác của \(\left( P \right)\). Dễ thấy rằng \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec n\) không cùng phương, từ đó tính tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec n\) để tìm được một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {0;0;1} \right)\).
Do \(\left( P \right) \bot \left( {Oxy} \right)\), mà vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( {Oxy} \right)\) có giá vuông góc với \(\left( {Oxy} \right)\), nên giá của \(\vec n\) song song hoặc nằm trên \(\left( P \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).
Mặt khác, theo hình vẽ, gọi \(A\) là điểm rơi của quả bóng trên mặt đất. Dễ dàng thấy được \({z_A} = 0\) và \({x_A} = 3\). Trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(OA = 5\) và \({y_A} > 0\). Như vậy tung độ của \(A\) là \({y_A} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\). Vậy ta có \(A\left( {3;4;0} \right)\)
Theo hình vẽ,\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và \(A\left( {3;4;0} \right)\), nên \(\overrightarrow {OA} \left( {3;4;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương khác của \(\left( P \right)\). Ta dễ thấy rằng \(\vec n = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {OA} \left( {3;4;0} \right)\) là hai vectơ không cùng phương, do đó \(\vec n\) và \(\overrightarrow {OA} \) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).
Như vậy một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\vec n,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0.0 - 1.4;1.3 - 0.0;0.4 - 0.3} \right) = \left( { - 4;3;0} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( { - 4;3;0} \right)\) là \( - 4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3y = 0\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 40 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian \(Oxyz\), một tấm pin nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 5y + z + 2 = 0\); một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải:
Dễ dàng thấy được
\(M\left( {1;1;1} \right)\) không nằm trên \(\left( P \right)\). Do \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\), nên \(\left( Q \right)\) nhận vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) làm vectơ pháp tuyến của mình. Từ đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Dễ dàng thấy được \(M\left( {1;1;1} \right)\) không nằm trên \(\left( P \right)\).
Do \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) là \(\vec n = \left( {6;5;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(M\left( {1;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {6;5;1} \right)\) là \(6\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y + z - 12 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\).
a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên.
b) Cho điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\). Hãy cho biết các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có đi qua \(M\) không.
c) Giải thích tại sao \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Phương pháp giải:
a) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\), rồi nhận xét.
b) Thay toạ độ điểm \(M\) lần lượt vào phương trình các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) rồi nhận xét.
c) Từ các kết quả ở câu a và b rồi giải thích.
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {2; - 4;6} \right)\).
Do \(\frac{1}{2} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} = \frac{3}{6}\), nên \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) cùng phương.
b) Thay toạ độ của điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta có:
\( - 1 - 2.0 + 3.0 + 1 = 0\)
Như vậy mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).
Thay toạ độ của điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) ta có:
\(2\left( { - 1} \right) - 4.0 + 6.0 + 1 = - 1 \ne 0\)
Như vậy mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) không đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).
c) Theo câu a, do \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) cùng phương, nên giá của \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, do \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) có giá vuông góc với \(\left( \beta \right)\), ta suy ra hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song hoặc trùng nhau. Hơn nữa, theo câu b, điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\) nhưng không thuộc \(\left( \beta \right)\), suy ra \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 39 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Mặt phẳng \(\left( E \right):2x - y + 8z + 1 = 0\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
a) \(\left( F \right):8x - 4y + 32z + 7 = 0\)
b) \(\left( H \right):6x - 3y + 24z + 3 = 0\)
c) \(\left( G \right):10x - 5y + 41z + 1 = 0\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( E \right)\), \(\left( F \right)\), \(\left( H \right)\), \(\left( G \right)\), rồi chỉ ra mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( E \right)\).
Lời giải chi tiết:
Các mặt phẳng \(\left( E \right)\), \(\left( F \right)\), \(\left( H \right)\), \(\left( G \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} = \left( {2; - 1;8} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = \left( {8; - 4;32} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = \left( {6; - 3;24} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} = \left( {10; - 5;41} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = 4\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \), nhưng \(7 \ne 4.1\). Vậy \(\left( E \right)\parallel \left( F \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = 3\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \) và \(3 = 3.1\). Vậy \(\left( E \right) \equiv \left( H \right)\).
Ta có \(\frac{2}{{10}} = \frac{{ - 1}}{{ - 5}} \ne \frac{8}{{41}}\), suy ra \(\overrightarrow {{n_{\left( E \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} \) không cùng phương. Vậy \(\left( E \right)\) cắt \(\left( G \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 40 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian \(Oxyz\), một tấm pin nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 5y + z + 2 = 0\); một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải:
Dễ dàng thấy được
\(M\left( {1;1;1} \right)\) không nằm trên \(\left( P \right)\). Do \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\), nên \(\left( Q \right)\) nhận vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) làm vectơ pháp tuyến của mình. Từ đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Dễ dàng thấy được \(M\left( {1;1;1} \right)\) không nằm trên \(\left( P \right)\).
Do \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) là \(\vec n = \left( {6;5;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(M\left( {1;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {6;5;1} \right)\) là \(6\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y + z - 12 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 40 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):3x + 2y + z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):5x - 10y + 5z + 9 = 0\).
a) Chỉ ra hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \), \(\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) và nêu nhận xét về hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Phương pháp giải:
a) Chỉ ra các vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) dựa vào phương trình các mặt phẳng.
b) Sử dụng công thức tích vô hướng, tính tích \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) và rút ra kết luận về hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 10;5} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.5 + 2.\left( { - 10} \right) + 1.5 = 0\). Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với nhau. Do \(\overrightarrow {{n_1}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với \(\left( \beta \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) vuông góc với nhau.
Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 40 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau:
\(\left( F \right):3x + 2y + 5z + 3 = 0\)
\(\left( H \right):x - 4y + z + 23 = 0\)
\(\left( G \right):x - y + 3z + 24 = 0\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ pháp tuyến lần lượt của các mặt phẳng, sau đó tính tích vô hướng để chọn ra các cặp vectơ có tích vô hướng bằng 0.
Lời giải chi tiết:
Các mặt phẳng \(\left( F \right)\), \(\left( H \right)\), \(\left( G \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} = \left( {3;2;5} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = \left( {1; - 4;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( G \right)}}} = \left( {1; - 1;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( F \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( H \right)}}} = 3.1 + 2.\left( { - 4} \right) + 5.1 = 0\). Vậy \(\left( F \right) \bot \left( H \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 40 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m, cách bạn nữ 5 m. Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của \(\left( P \right)\) trong không gian \(Oxyz\) được mô tả trong hình vẽ.
Phương pháp giải:
Do \(\left( P \right) \bot \left( {Oxy} \right)\), mà vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( {Oxy} \right)\) có giá vuông góc với \(\left( {Oxy} \right)\), nên giá của \(\vec n\) song song hoặc nằm trên \(\left( P \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).
Mặt khác, theo hình vẽ, gọi \(A\) là điểm rơi của quả bóng trên mặt đất. Dễ dàng thấy được \({z_A} = 0\) và \({x_A} = 3\). Trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), sử dụng định lý Pythagore để xác định \({y_A}\) . Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(O\) và \(A\) nên \(\overrightarrow {OA} \) là một vectơ chỉ phương khác của \(\left( P \right)\). Dễ thấy rằng \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec n\) không cùng phương, từ đó tính tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec n\) để tìm được một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {0;0;1} \right)\).
Do \(\left( P \right) \bot \left( {Oxy} \right)\), mà vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( {Oxy} \right)\) có giá vuông góc với \(\left( {Oxy} \right)\), nên giá của \(\vec n\) song song hoặc nằm trên \(\left( P \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).
Mặt khác, theo hình vẽ, gọi \(A\) là điểm rơi của quả bóng trên mặt đất. Dễ dàng thấy được \({z_A} = 0\) và \({x_A} = 3\). Trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(OA = 5\) và \({y_A} > 0\). Như vậy tung độ của \(A\) là \({y_A} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\). Vậy ta có \(A\left( {3;4;0} \right)\)
Theo hình vẽ,\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và \(A\left( {3;4;0} \right)\), nên \(\overrightarrow {OA} \left( {3;4;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương khác của \(\left( P \right)\). Ta dễ thấy rằng \(\vec n = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {OA} \left( {3;4;0} \right)\) là hai vectơ không cùng phương, do đó \(\vec n\) và \(\overrightarrow {OA} \) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).
Như vậy một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\vec n,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0.0 - 1.4;1.3 - 0.0;0.4 - 0.3} \right) = \left( { - 4;3;0} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( { - 4;3;0} \right)\) là \( - 4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3y = 0\)
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập chương trình Giải tích. Cụ thể, các bài tập trong mục này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm, tích phân, và các ứng dụng của chúng để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng để đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia.
Các bài tập trên trang 38 chủ yếu xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số đơn giản, hàm hợp, và hàm ẩn. Học sinh cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc lũy thừa, quy tắc tích, quy tắc thương, và quy tắc hàm hợp. Ngoài ra, việc hiểu rõ ý nghĩa hình học của đạo hàm cũng rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và cực trị.
Trang 39 tập trung vào các bài tập ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, tìm cực trị, và giải các bài toán tối ưu. Học sinh cần biết cách tìm đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai, xác định các điểm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Ngoài ra, việc sử dụng đạo hàm để giải các bài toán tối ưu trong thực tế cũng là một kỹ năng quan trọng.
Các bài tập trên trang 40 yêu cầu học sinh tính tích phân xác định và tích phân bất định. Học sinh cần nắm vững các phương pháp tính tích phân cơ bản như phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần, và phương pháp sử dụng công thức tích phân. Ngoài ra, việc hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân cũng rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích và thể tích.
Bài tập: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Giải:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5.
Việc giải bài tập mục 4 trang 38, 39, 40 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập. Hy vọng với bài giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập hiệu quả mà toan9.edu.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt nhất.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
