Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian - Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi một cặp điểm A và B. Vectơ AB được ký hiệu là AB và có các thành phần (x; y; z) với x = x_B - x_A, y = y_B - y_A, z = z_B - z_A. Độ dài của vectơ AB được tính bằng công thức: |AB| = √x² + y² + z².

II. Các phép toán trên vectơ

1. Phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂).

• a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)
• a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

2. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và số thực k.

ka = (kx; ky; kz)

III. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được tính bằng công thức:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.

IV. Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được tính bằng công thức:

[a, b] = (y₁z₂ - z₁y₂; z₁x₂ - x₁z₂; x₁y₂ - y₁x₂)

Ứng dụng của tích có hướng: Tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ, tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm vectơ AB và tính độ dài của nó.

Bài 2: Cho a = (1; -2; 3) và b = (2; 1; -1). Tính a + b và a.b.

Bài 3: Cho a = (1; 0; 0) và b = (0; 1; 0). Tính tích có hướng [a, b].

Bài 4: Chứng minh rằng ba vectơ a = (1; 2; 3), b = (2; 3; 1) và c = (3; 1; 2) đồng phẳng.

VI. Kết luận

Bài 1 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về vectơ trong không gian và các phép toán liên quan. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tập các bài học tiếp theo trong chương trình Toán 12.