Giải bài tập 5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập 5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài tập 5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn để tính toán và chứng minh các giới hạn cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng để đạt kết quả tốt trong môn Toán.

Nội dung bài tập 5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài tập 5 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:

• Tính giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước.
• Chứng minh sự tồn tại của giới hạn.
• Vận dụng các định lý về giới hạn để đơn giản hóa biểu thức.

Lời giải chi tiết bài tập 5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Câu a: Tính \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}

Để tính giới hạn này, ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}

Khi x \neq 2, ta có thể rút gọn biểu thức:

\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4

Vậy, \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

Câu b: Tính \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}

Tương tự như câu a, ta phân tích tử thức thành nhân tử:

\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}

Khi x \neq -1, ta rút gọn biểu thức:

\lim_{x \to -1} (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

Vậy, \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1} = 3

Câu c: Tính \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

Để tính giới hạn này, ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp:

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 1} - 1)(\sqrt{x + 1} + 1)}{x(\sqrt{x + 1} + 1)}

= \lim_{x \to 0} \frac{x + 1 - 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)}

Khi x \neq 0, ta rút gọn biểu thức:

\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{0 + 1} + 1} = \frac{1}{2}

Vậy, \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{1}{2}

Mở rộng kiến thức và ứng dụng

Việc hiểu rõ về giới hạn của hàm số là nền tảng quan trọng cho việc học các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích, như đạo hàm, tích phân. Các bài tập về giới hạn cũng giúp rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.

Kết luận

Hy vọng bài giải chi tiết bài tập 5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo trên toan9.edu.vn đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập về giới hạn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!