Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập Toán 12.
Bài giải này được xây dựng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) có cặp vectơ chỉ phương (vec a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)), (vec b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)). Xét vectơ (vec n = left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right)).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\), \(\vec b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Xét vectơ \(\vec n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\).
a) Vectơ \(\vec n\) có khác \(\vec 0\) hay không?
b) Tính \(\vec a.\vec n\); \(\vec b.\vec n\).
c) Vectơ \(\vec n\) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không?
Phương pháp giải:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), sau đó chứng minh rằng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương. Điều này là vô lí do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).
b) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.
c) Để chứng minh \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta chỉ ra rằng \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), khi đó \({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = {a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\).
Với trường hợp \({b_1}\), \({b_2}\), \({b_3}\) cùng khác 0, ta suy ra \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\), điều này có nghĩa \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Nếu \({b_1} = 0\) thì \({a_1} = 0\), ta vẫn thu được kết quả \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Các trường hợp còn lại cho ra kết quả tương tự.
Như vậy \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Mặt khác, do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương, mâu thuẫn.
Như vậy \(\vec n \ne \vec 0\).
b) Ta có:
+)\(\vec a.\vec n = {a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {a_1}{a_2}{b_3} - {a_1}{a_3}{b_2} + {a_2}{a_3}{b_1} - {a_2}{a_1}{b_3} + {a_3}{a_1}{b_2} - {a_3}{a_2}{b_1} = 0\)
+) \(\vec b.\vec n = {b_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {b_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {b_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {b_1}{a_2}{b_3} - {b_1}{a_3}{b_2} + {b_2}{a_3}{b_1} - {b_2}{a_1}{b_3} + {b_3}{a_1}{b_2} - {b_3}{a_2}{b_1} = 0\)
Như vậy \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\).
c) Theo câu b, ta có \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\), điều này có nghĩa là \(\vec n\) có giá vuông góc với giá của \(\vec a\) và \(\vec b\). Mà \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\). Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là và .
Để tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , thực hiện tính tích có hướng của hai vectơ và . Vectơ thu được là một\(C\left( {10;7; - 1} \right)\) vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\), nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {9;6; - 2} \right)\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0.\left( { - 2} \right) - 4.6;4.9 - \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right); - 2.6 - 0.9} \right) = \left( { - 24;32; - 12} \right)\)
Do đó, mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6;8; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\), \(\vec b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Xét vectơ \(\vec n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\).
a) Vectơ \(\vec n\) có khác \(\vec 0\) hay không?
b) Tính \(\vec a.\vec n\); \(\vec b.\vec n\).
c) Vectơ \(\vec n\) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không?
Phương pháp giải:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), sau đó chứng minh rằng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương. Điều này là vô lí do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).
b) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.
c) Để chứng minh \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta chỉ ra rằng \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), khi đó \({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = {a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\).
Với trường hợp \({b_1}\), \({b_2}\), \({b_3}\) cùng khác 0, ta suy ra \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\), điều này có nghĩa \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Nếu \({b_1} = 0\) thì \({a_1} = 0\), ta vẫn thu được kết quả \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Các trường hợp còn lại cho ra kết quả tương tự.
Như vậy \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Mặt khác, do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương, mâu thuẫn.
Như vậy \(\vec n \ne \vec 0\).
b) Ta có:
+)\(\vec a.\vec n = {a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {a_1}{a_2}{b_3} - {a_1}{a_3}{b_2} + {a_2}{a_3}{b_1} - {a_2}{a_1}{b_3} + {a_3}{a_1}{b_2} - {a_3}{a_2}{b_1} = 0\)
+) \(\vec b.\vec n = {b_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {b_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {b_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {b_1}{a_2}{b_3} - {b_1}{a_3}{b_2} + {b_2}{a_3}{b_1} - {b_2}{a_1}{b_3} + {b_3}{a_1}{b_2} - {b_3}{a_2}{b_1} = 0\)
Như vậy \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\).
c) Theo câu b, ta có \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\), điều này có nghĩa là \(\vec n\) có giá vuông góc với giá của \(\vec a\) và \(\vec b\). Mà \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\). Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là và .
Để tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , thực hiện tính tích có hướng của hai vectơ và . Vectơ thu được là một\(C\left( {10;7; - 1} \right)\) vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\), nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {9;6; - 2} \right)\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0.\left( { - 2} \right) - 4.6;4.9 - \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right); - 2.6 - 0.9} \right) = \left( { - 24;32; - 12} \right)\)
Do đó, mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6;8; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho biết hai vectơ \(\vec a = \left( {2;1;1} \right)\), \(\vec b = \left( {1; - 2;0} \right)\) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong hình dưới đây. Tìm vectơ \(\vec n\) có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành 3 đường thẳng đôi một vuông góc).
Phương pháp giải:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Lời giải chi tiết:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {1.0 - 1.\left( { - 2} \right);1.1 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 1.1} \right) = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Do đó, vectơ \(\vec n\) cần tìm là \(\vec n = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho biết hai vectơ \(\vec a = \left( {2;1;1} \right)\), \(\vec b = \left( {1; - 2;0} \right)\) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong hình dưới đây. Tìm vectơ \(\vec n\) có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành 3 đường thẳng đôi một vuông góc).
Phương pháp giải:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Lời giải chi tiết:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {1.0 - 1.\left( { - 2} \right);1.1 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 1.1} \right) = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Do đó, vectơ \(\vec n\) cần tìm là \(\vec n = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về đạo hàm. Cụ thể, các bài tập trong mục này yêu cầu học sinh vận dụng các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp, và đạo hàm của hàm số lượng giác để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài tập trong mục 2 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập này, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, cũng như quy tắc đạo hàm của lũy thừa:
y' = 3x^2 - 4x + 5
Để giải bài tập này, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
y' = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)
Đầu tiên, ta tính đạo hàm cấp một:
y' = 4x^3 + 6x
Sau đó, ta tính đạo hàm cấp hai:
y'' = 12x^2 + 6
Để giải quyết hiệu quả các bài tập về đạo hàm, học sinh cần:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là rất quan trọng đối với học sinh lớp 12. Hy vọng rằng, với bài giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trong mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| y = c (hằng số) | y' = 0 |
| y = x^n | y' = nx^(n-1) |
| y = sin(x) | y' = cos(x) |
| y = cos(x) | y' = -sin(x) |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
