Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

I. Khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trong toán học, việc tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của một hàm số là một bài toán quan trọng, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Đối với hàm số f(x) xác định trên một tập hợp D, ta nói:

II. Điều kiện để hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
2. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
3. Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và đầu mút:
• f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2
• f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
• f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2
• f(3) = 3³ - 3(3)² + 2 = 2
4. So sánh các giá trị: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2 (đạt được tại x = 0 và x = 3). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -2 (đạt được tại x = -1 và x = 2).

IV. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên đoạn [0; 4].

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5 trên khoảng (1; 4).

V. Lưu ý quan trọng

Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm không xác định của đạo hàm. Việc vẽ đồ thị hàm số cũng có thể giúp ta hình dung rõ hơn về vị trí của các điểm cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!